Riemann-oppervlak

Er zijn verschillende gelijkwaardige definities van een riemann-oppervlak.

1. Een riemann-oppervlak ${\displaystyle X}$ is een complexe variëteit van (complexe) dimensie een. Dit betekent dat ${\displaystyle X}$ een samenhangende hausdorff-ruimte is die is uitgerust met een atlas, dat wil zeggen dat voor elk punt ${\displaystyle x\in X}$ er een omgeving is die ${\displaystyle x}$ bevat en die homeomorf is met de eenheidsschijf van het complexe vlak. Het homeomorfisme dat de structuur van het complexe vlak overbrengt naar het riemann-oppervlak, heet een kaart. Tevens wordt geëist dat transitieafbeeldingen tussen twee overlappende kaarten holomorf zijn.
2. Een riemann-oppervlak ${\displaystyle X}$ is een riemann-variëteit van (reële) dimensie twee - vandaar de naam riemann-oppervlak - samen met een hoekgetrouwe structuur. De term variëteit houdt in dat de ruimte lokaal, op elk punt ${\displaystyle x}$ van ${\displaystyle X}$, verondersteld wordt zich te gedragen als in het reële vlak. Het voorvoegsel "riemann" betekent dat ${\displaystyle X}$ is uitgerust met een zogenaamde riemann-metriek ${\displaystyle g}$, die het mogelijk maakt om hoeken op de variëteit te meten. Twee van zulke metrieken worden als equivalent beschouwd, indien de gemeten hoeken hetzelfde zijn. De keuze van een metriek, en dus een equivalentieklasse van metrieken, op ${\displaystyle X}$ is het aanvullend gegeven van de hoekgetrouwe structuur.

Een complexe structuur geeft aanleiding tot een hoekgetrouwe structuur door de keuze van de standaard euclidische metriek gegeven op het complexe vlak, en deze met behulp van de eerder genoemde kaarten mee te nemen naar ${\displaystyle X}$.

Het riemann-oppervlak.

• Het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ is misschien wel het meest basale riemann-oppervlak. De afbeelding ${\displaystyle f(z)=z}$ (de identiteitsafbeelding) definieert een kaart voor ${\displaystyle \mathbb {C} }$ en ${\displaystyle \{f\}}$ is een atlas voor ${\displaystyle \mathbb {C} }$. De afbeelding ${\displaystyle g(z)=z^{*}}$ (de geconjugeerde afbeelding) definieert ook een kaart op ${\displaystyle \mathbb {C} }$ en ${\displaystyle \{g\}}$ is een atlas voor ${\displaystyle \mathbb {C} }$. De kaarten ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ zijn niet compatibel, zodat ${\displaystyle \mathbb {C} }$ hierdoor voorzien is van twee verschillende structuren als riemann-oppervlak. In feite is, gegeven een riemann-oppervlak ${\displaystyle X}$ en de atlas ${\displaystyle A}$, de geconjugeerde atlas ${\displaystyle B=\{f^{*}\mid f\in A\}}$ in geen enkel geval compatibel met ${\displaystyle A}$, en voorziet zij ${\displaystyle X}$ van een verschillende, incompatibele riemann-structuur.
• Op een soortgelijke manier kan iedere open deelverzameling van het complexe vlak op een natuurlijke manier als een riemann-oppervlak worden gezien. Meer in het algemeen geldt dat elke open deelverzameling van een riemann-oppervlak zelf ook een riemann-oppervlak is.
• Zij ${\displaystyle S=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ en ${\displaystyle f(z)=z}$ voor ${\displaystyle z\in S,z\neq \infty }$, en ${\displaystyle g(z)=1/z}$ voor ${\displaystyle z\in S,z\neq 0,z\neq \infty }$ en ${\displaystyle g(\infty )=0}$. Dan zijn ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ kaarten, zij zijn compatibel, en ${\displaystyle \{f,g\}}$ is een atlas voor ${\displaystyle S}$, waardoor ${\displaystyle S}$ een riemann-oppervlak wordt. Dit bijzondere oppervlak wordt de riemann-sfeer genoemd, omdat dit oppervlak kan worden geïnterpreteerd als het wikkelen van het complexe vlak rondom deze sfeer. In tegenstelling tot het complexe vlak, is deze riemann-sfeer compact.

Een torus.

• Van de theorie van de compacte riemann-oppervlakken kan worden aangetoond dat deze equivalent is met die van de projectieve algebraïsche krommen die zijn gedefinieerd over de complexe getallen en die niet-singulier zijn. Bijvoorbeeld, de torus ${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$, waarin ${\displaystyle \tau }$ een complexe niet-reëel getal is, die via de Weierstrass-elliptische functie, geassocieerd met het rooster ${\displaystyle \mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }$, correspondeert met een elliptische kromme, die wordt gegeven door een vergelijking

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

Torussen zijn de enige riemann-oppervlakken van genus een, oppervlakken van hogere genera ${\displaystyle g}$ worden geleverd door de hyperelliptische oppervlakken

${\displaystyle y^{2}=P(x)}$,

waarin ${\displaystyle P}$ een complexe veelterm is van graad ${\displaystyle 2g+1}$.

• Belangrijke voorbeelden van niet-compacte riemann-oppervlakken worden geleverd door analytische voortzetting.

• 
  ${\displaystyle f(z)=\arcsin z}$,
• 
  ${\displaystyle f(z)=\log z}$,
• 
  ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{3}}}$
• 
  ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{4}}}$

Het rijk van de riemann-oppervlakken kan worden verdeeld in drie regimes: hyperbolische, parabolische en elliptische riemann-oppervlakken, waar het onderscheid wordt gegeven door de uniformeringsstelling. Meetkundig corresponderen deze begrippen met negatieve kromming, nulkromming (plat), en positieve kromming: het formuleren van de uniformiseringsstelling in termen van de hoekgetrouwe meetkunde, elke verbonden riemann-oppervlak ${\displaystyle X}$ erkent een unieke volledige 2-dimensionale reële riemann-metriek met constante kromming −1, 0 of 1 die dezelfde hoekgetrouwe structuur induceert - elke metriek is qua hoekgetrouwheid gelijkwaardig aan een constante kromming metriek. Het oppervlak ${\displaystyle X}$ noemt men respectievelijk hyperbolisch, parabolisch en elliptisch.

Voor enkelvoudig samenhangende riemann-oppervlakken geeft de uniformiseringsstelling aan dat ieder enkelvoudig samenhangende aangesloten riemann-oppervlak qua hoekgetrouwheid equivalent is aan van de drie onderstaande gevallen:

elliptisch

de riemann-sfeer ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, ook aangeduid als de complexe projectieve lijn ${\displaystyle P^{1}(\mathbb {C} )}$

parabolisch

het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$, of

hyperbolisch

de open schijf ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<1\}}$ of equivallent het bovenhalfvlak ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \Im (z)>0\}}$.

Het bestaan van deze drie soorten loopt parallel aan de verschillende soorten niet-euclidische meetkunden.

De algemene techniek van het associëren met een variëteit ${\displaystyle X}$ van een universele dekkende ruimte ${\displaystyle Y}$, en de originele ${\displaystyle X}$ uitdrukken als het quotiënt van ${\displaystyle Y}$ door de groep van dektransformaties geeft een eerste overzicht van riemann-oppervlakken.

• (en) Riemann-oppervlakte op PlanetMath