Hamiltonformalisme

Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het lagrangeformalisme. De toestand van een tijdafhankelijk systeem met ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden wordt vastgelegd met een stel gegeneraliseerde coördinaten ${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ die per definitie onderling onafhankelijk zijn, en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{n}}$, die ook onderling en van de plaatscoördinaten onafhankelijke grootheden zijn. (Tijdsafgeleiden van deze en andere natuurkundige grootheden worden volgens een conventionele notatie met een punt boven het symbool ervan aangegeven in plaats van de differentiaaloperator ${\displaystyle \mathrm {d} /\mathrm {d} t}$ als dat de overzichtelijkheid ten goede komt.)

Het gedrag van het systeem wordt beschreven door de euler-lagrange-vergelijkingen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\quad (i=1,2,\ldots ,n)}$ (i)

Hierin is ${\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}$ de lagrangiaan van het systeem.

Nu wordt de hamiltoniaan of hamiltonfunctie ingevoerd, die de legendre-transformatie naar ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{n}}$ is van de lagrangiaan. Dit is de eerste stap van een standaardmethode om een tweede orde DV om te zetten in een stelsel van twee eerste orde DV's, wat ook de bedoeling is van het hamiltonformalisme:

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L}$

Nu wordt voor elke gegeneraliseerde coördinaat ${\displaystyle q_{i}}$ de bijbehorende gegeneraliseerde impuls geïntroduceerd:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$ (ii)

De euler-lagrange-vergelijkingen kunnen zodoende herschreven worden als:

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\quad (i=1,2,\ldots ,n)}$ (iii)

Gebruikmakend van de definitie van ${\displaystyle p_{i}}$ (ii) wordt een eerste stap gezet naar de definitie van de hamiltoniaan die alleen afhankelijk is van ${\displaystyle q_{i}}$ en ${\displaystyle p_{i}}$:

${\displaystyle H(q_{1},\ldots ,q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n},t)=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}$,

waaruit de afhankelijkheid van ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ nog weggewerkt moet worden.
Vervolgens wordt uitgegaan van de totale differentiaal van deze versie van de hamiltoniaan:

${\displaystyle \mathrm {d} H=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} ({\dot {q}}_{i}p_{i})-\mathrm {d} L}$

Daarin wordt de productregel toegepast op de term ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}p_{i}}$ en wordt de totale differentiaal voor ${\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}$ uitgeschreven:

${\displaystyle \mathrm {d} H=\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\,\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}+{\dot {q}}_{i}\,\mathrm {d} p_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,\mathrm {d} q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,\mathrm {d} t}$

Uit deze uitdrukking kunnen de differentiaal van en de afgeleide naar ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ weggewerkt worden door gebruik te maken van de definitie van ${\displaystyle p_{i}}$ (ii) en van de herschreven versie van de euler-lagrange vergelijkingen (iii):

${\displaystyle \mathrm {d} H=\sum _{i=1}^{n}\left({\dot {q}}_{i}\,\mathrm {d} p_{i}-{\dot {p}}_{i}\,\mathrm {d} q_{i}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,\mathrm {d} t}$ (iv)

${\displaystyle \mathrm {d} H}$ is nu uitgedrukt in differentialen van ${\displaystyle q_{i}}$, ${\displaystyle p_{i}}$ en ${\displaystyle t}$. Omdat ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ opgevat mag worden als een functie van ${\displaystyle p_{i}}$, is ${\displaystyle H}$ hiermee nu geheel afhankelijk van ${\displaystyle q_{i},\ p_{i}}$ en ${\displaystyle t}$.

Omdat de gegeneraliseerde plaats en impuls voor verschillende vrijheidsgraden i van elkaar onafhankelijk zijn, kunnen van de algemene definitie van de totale differentiaal van ${\displaystyle H}$ als functie van ${\displaystyle p,\ q}$ en ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \mathrm {d} H=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,\mathrm {d} p_{i}+{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,\mathrm {d} q_{i}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}\,\mathrm {d} t}$

de coëfficiënten van de differentialen ${\displaystyle \mathrm {d} p,\ \mathrm {d} q}$ en ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ voor elke vrijheidsgraad ${\displaystyle i}$ afzonderlijk gelijkgesteld worden met die van de zojuist afgeleide uitdrukking (iv) voor ${\displaystyle \mathrm {d} H}$. Uit die gelijkstellingen volgen dan de vergelijkingen van Hamilton, ook wel de kanonieke bewegingsvergelijkingen genoemd:

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\qquad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\qquad (i=1,2,\ldots ,n)}$;

en de tijdsafgeleide van ${\displaystyle H}$ zelf is gelijk aan

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}}$

In een conservatief systeem, waarin geen kinetische of potentiële energie verloren gaat aan wrijving, is

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0}$

In dat geval zijn ${\displaystyle H}$ en ${\displaystyle L}$ bewegingsconstanten van het systeem. De ruimte die wordt beschreven met gegeneraliseerde plaatscoördinaten en impulscoördinaten wordt een faseruimte genoemd, die o.a. in de statistische mechanica een centrale rol speelt. De deelruimte met alleen impulscoördinaten, die alleen de bewegingstoestand van een systeem beschrijven, wordt impulsruimte genoemd.

De symplectische meetkunde bestudeert symplectische variëteiten, dit zijn al dan niet gekromde ruimten waarin de bewegingsvergelijkingen in de meetkundige structuur vervat liggen. De coördinaten in de omgeving van een punt van een dergelijke ruimte vormen een combinatie van de plaatscoördinaten ${\displaystyle q_{i}}$ en de impulscoördinaten ${\displaystyle p_{i}}$.

• Poisson-haak

• (en) Corben, H.C. and Philip Stehle (1994): Classical Mechanics, 2nd edition, Dover Publications, New York, Chapter 10.