Bilineaire vorm

In de wiskunde is een bilineaire vorm ${\displaystyle B}$ op een vectorruimte V over een lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle K}$ van scalairen een bilineaire afbeelding ${\displaystyle B:V\times V\to K}$. Een bilineaire vorm ${\displaystyle B}$ is dus lineair in elk argument afzonderlijk:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{1. }}B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v){\text{,}}\\[4pt]{\text{2. }}B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'){\text{,}}\\[4pt]{\text{3. }}B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v){\text{.}}\\[4pt]\end{array}}}$

Als van de vectorruimte een basis ${\displaystyle W}$ is gegeven, dan wordt een bilineaire vorm gegeven door ${\displaystyle B(b_{1},b_{2})}$ voor elke combinatie van twee basisvectoren, dus door een afbeelding ${\displaystyle B:W\times W\to K}$.

Elke bilineaire vorm op ${\displaystyle K^{n}}$ kan met behulp van een ${\displaystyle n\times n}$-matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ worden uitgedrukt als

${\displaystyle B(x,y)=x^{\top }Ay=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j}}$

Zo'n bilineaire vorm heet ontaard als de matrix een singuliere matrix is.

De definitie van een bilineaire vorm kan eenvoudig worden uitgebreid naar modulen over een commutatieve ring, waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen. Als ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ (de complexe getallen) is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen, die vergelijkbaar zijn met bilineaire vormen, maar die conjugaat lineair in een argument zijn.