Differentieerbare variëteit

De opkomst van de differentiaalmeetkunde als een aparte discipline wordt algemeen toegeschreven aan Carl Friedrich Gauss en Bernhard Riemann. Riemann was de eerste die variëteiten beschreef in zijn beroemde habilitationcollege voor de faculteit van de Universiteit van Göttingen.[1] Hij motiveerde het idee van een variëteit door een intuïtief proces van een gegeven object in een nieuwe richting te variëren en beschreef met vooruitziende blik de rol van coördinatensystemen en kaarten in de daarop volgende formele ontwikkelingen:

Na de notie van een menigvuldigheid van n dimensies te hebben geconstrueerd, en te hebben gevonden dat haar ware karakter bestaat in de eigenschap dat de vaststelling van de positie er in kan worden teruggebracht tot n bepalingen van grootte, ... - B. Riemann

De werken van natuurkundigen zoals James Clerk Maxwell en wiskundigen zoals Gregorio Ricci-Curbastro en Tullio Levi-Civita[2] hebben geleid tot de ontwikkeling van tensoranalyse en de notie van covariantie, die een intrinsieke meetkundige eigenschap identificeert als een die invariant is met betrekking tot coördinatentransformaties. Deze ideeën vonden een belangrijke toepassing in Einsteins algemene relativiteitstheorie en het onderliggende equivalentieprincipe. Een moderne definitie van een 2-dimensionale variëteit werd in 1913 door Hermann Weyl gegeven in zijn boek over Riemann-oppervlakken.[3] De breed aanvaarde algemene definitie van een variëteit in termen van een atlas is te danken aan de Amerikaanse wiskundige Hassler Whitney[4]

Een voorstelling van een topologische variëteit is een tweedst-aftelbare topologische hausdorff-ruimte die door een collectie (een zogenaamde atlas) homeomorfismen, die kaarten worden genoemd, lokaal homeomorf is aan de euclidische ruimte. De samenstelling van een kaart met de inverse van een andere kaart is een functie die transitieafbeelding wordt genoemd en die een homeomorfisme van een open deelverzameling van de euclidische ruimte op een andere open deelverzameling van de euclidische ruimte definieert. Dit formaliseert het begrip van het "samenvoegen van stukjes van de euclidische ruimte om zo een variëteit te vormen" - de geproduceerde variëteit bevat ook gegevens van hoe deze variëteit is samengevoegd. Verschillende atlassen (samenvoegingen) kunnen echter "dezelfde" variëteit produceren, en omgekeerd kent een variëteit geen voorkeursatlas, en dus definieert men een topologische variëteit als een ruimte zoals hierboven beschreven met een equivalentieklasse van atlassen, waarvan men de equivalentie van atlassen als hieronder definieert.

Er bestaan verschillende typen differentieerbare variëteiten. Met welk type men te maken heeft, hangt af van de precieze differentieerbaarheidseisen die aan de transitieafbeeldingen gesteld worden. Enkele veel voorkomende typen zijn de vier onderstaande.

• Een differentieerbare variëteit is een topologische variëteit die is uitgerust met een equivalentieklasse van atlassen, waarvan de transitieafbeeldingen alle differentieerbaar zijn. Meer in het algemeen is een ${\displaystyle C^{k}}$-variëteit een topologische variëteit met een atlas, waarvan de transitieafbeeldingen alle ${\displaystyle k}$ keer continu differentieerbaar zijn.
• Een gladde variëteit of ${\displaystyle C^{\infty }}$-variëteit is een differentieerbare variëteit waarvoor alle transitieafbeeldingen glad zijn. Dat wil zeggen dat er voor alle orden afgeleiden bestaan; het is dus voor elke ${\displaystyle k}$ een ${\displaystyle C^{k}}$-variëteit. Men zegt dat een equivalentieklasse van zulke atlassen een gladde structuur is.
• Een analytische variëteit of ${\displaystyle C^{\omega }}$-variëteit is een gladde variëteit met de aanvullende voorwaarde dat elke transitieafbeelding analytisch is: de taylor-ontwikkeling is absoluut convergent en is gelijk aan de functie op een open bal.
• Een complexe variëteit is een topologische ruimte die is gemodelleerd op een euclidische ruimte over de complexe getallen en waarvoor alle transitieafbeeldingen holomorf zijn.

Hoewel er een betekenisvolle notie van een ${\displaystyle C^{k}}$ atlas bestaat, is dit niet het geval voor een ${\displaystyle C^{0}}$ variëteit. De enige uitzonderingen zijn ${\displaystyle C^{k}}$ (continue afbeeldingen: een topologische variëteit) en ${\displaystyle C^{\omega }}$ (gladde afbeeldingen: een gladde variëteit), omdat er voor elke ${\displaystyle C^{k}}$-structuur met ${\displaystyle k>0}$ een unieke ${\displaystyle C^{k}}$ bestaat - die equivalent is aan ${\displaystyle C^{\infty }}$ - (elke ${\displaystyle C^{k}}$-structuur is op unieke wijze glad te maken) – een resultaat van Whitney (en verder zijn twee ${\displaystyle C^{k}}$ atlassen, die gelijkwaardig zijn aan een enkele ${\displaystyle C^{\infty }}$ atlas, als ${\displaystyle C^{k}}$ atlassen gelijkwaardig, twee onderscheiden ${\displaystyle C^{k}}$ atlassen komen dus niet met elkaar in aanvaring); zie de paragraaf differentieerbare structuur: Existentie en uniciteitsstellingen voor verdere details. Zo gebruikt men de termen "differentieerbare variëteit" en "gladde variëteit" door elkaar. Dit staat in sterk contrast tot ${\displaystyle C^{k}}$ afbeeldingen, waar er betekenisvole verschillen voor verschillende ${\displaystyle k}$'s bestaan. De inbeddingstelling van Nash stelt bijvoorbeeld dat elke variëteit ${\displaystyle C^{k}}$ isometrisch ingebed kan zijn in de Euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ – voor enige ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty }$ er is een voldoende grote ${\displaystyle N}$, maar ${\displaystyle N}$ hangt af van ${\displaystyle k}$.

Aan de andere kant leggen complexe variëteiten beduidend striktere eisen op. Als een voorbeeld bepaalt de stelling van Chow dat enige projectieve complexe variëteit in feite een projectieve variëteit is – hij heeft namelijk een algebraïsche structuur.