Differentieerbaarheidsklasse

Een reële functie ${\displaystyle f}$ gedefinieerd op een open deelverzameling van de reële getallen behoort tot de diferentieerbaarheidsklasse ${\displaystyle C^{k}}$ met ${\displaystyle k}$ een niet-negatief geheel getal, als de eerste ${\displaystyle k}$ afgeleiden ${\displaystyle f',f'',\ldots ,f^{(k)}}$ bestaan en continu zijn (de eerste ${\displaystyle k-1}$ afgeleiden zijn automatisch continu vanwege het bestaan van de ${\displaystyle k}$-de afgeleide). Men zegt dan ook dat ${\displaystyle f}$ van de klasse ${\displaystyle C^{k}}$ is.

Van een functie ${\displaystyle f}$ zegt men dat deze van klasse ${\displaystyle C^{\infty }}$, of glad is, als de functie afgeleiden heeft van alle mogelijk ordes. Van ${\displaystyle f}$ zegt men dat deze van klasse ${\displaystyle C^{\omega }}$ of analytisch is, als ${\displaystyle f}$ glad is en als ${\displaystyle f}$ gelijk is aan haar Taylorreeksontwikkeling rond elk willekeurig punt in haar domein.

Anders gezegd bestaat de klasse ${\displaystyle C^{0}}$ uit alle continue functies. De klasse ${\displaystyle C^{1}}$ bestaat uit alle differentieerbare functies, waarvan de afgeleide continu is; deze functies worden continu differentieerbaar genoemd. In het algemeen kunnen de klassen ${\displaystyle C^{k}}$ recursief worden gedefinieerd door ${\displaystyle C^{0}}$ als de verzameling van alle continue functies te definiëren en ${\displaystyle C^{k}}$ voor elk positief geheel getal ${\displaystyle k}$ als de verzameling van alle differentieerbare functies te definiëren waarvan de afgeleide van klasse ${\displaystyle C^{k-1}}$ is. In het bijzonder maakt ${\displaystyle C^{k}}$ deel uit van ${\displaystyle C^{k-1}}$ voor elke ${\displaystyle k}$, en er zijn voorbeelden die laten zien dat deze opsluiting strikt is. ${\displaystyle C^{\infty }}$ is de doorsnede van de verzamelingen ${\displaystyle C^{k}}$ als ${\displaystyle k}$ varieert over de niet-negatieve gehele getallen. ${\displaystyle C^{\omega }}$ is strikt genomen opgesloten in ${\displaystyle C^{\infty }}$; voor een voorbeeld hiervan, zie de bultfunctie, of ook hieronder.