Topologische variëteit

Een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ wordt lokaal euclidisch genoemd als voor een zeker positief natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ elk punt in ${\displaystyle X}$ een omgeving heeft die homeomorf is met een open samenhangende deelverzameling van de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Een topologische variëteit is een lokaal euclidische hausdorff-ruimte die voldoet aan het aftelbaarheidsaxioma ${\displaystyle A_{2}}$. Het is gebruikelijk om aanvullende eisen op te leggen aan topologische variëteiten. Vele auteurs definiëren topologische variëteiten als paracompact.

Met een ${\displaystyle n}$-variëteit wordt een topologische variëteit bedoeld zodat elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Een niet-triviale stelling zegt dat voor elke variëteit ${\displaystyle X}$ er een uniek geheel getal ${\displaystyle n}$ bestaat zodat ${\displaystyle X}$ een ${\displaystyle n}$-variëteit is. Dit gehele getal wordt de dimensie van ${\displaystyle X}$ genoemd.

Elke topologische variëteit heeft meerdere atlassen. Een ${\displaystyle C^{k}}$-atlas is een atlas waarvan de transitieafbeeldingen van de differentieerbaarheidsklasse ${\displaystyle C^{k}}$ zijn. Elke topologische variëteit heeft een ${\displaystyle C^{0}}$-atlas en in het algemeen heeft een ${\displaystyle C^{k}}$-variëteit een ${\displaystyle C^{k}}$-atlas. Een continue atlas is een ${\displaystyle C^{0}}$-atlas, een gladde atlas een ${\displaystyle C^{\infty }}$-atlas en een analytische atlas is een ${\displaystyle C^{\omega }}$-atlas. Als de atlas ten minste ${\displaystyle C^{1}}$ is, wordt ze ook een differentiaalstructuur of differentieerbare structuur genoemd. Een holomorfe atlas is een atlas waarvan de onderliggende euclidische ruimte gedefinieerd is op de complexe getallen en waarvan de transitieafbeeldingen biholomorf zijn.

• De euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ geldt als de prototypische ${\displaystyle n}$-variëteit. Een pseudo-euclidische ruimte voorzien van de gebruikelijke topologie van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (die geïnduceerd wordt door de euclidische metriek) valt hier ook onder.
• Enige discrete ruimte is een 0-dimensionale variëteit.
• Een cirkel is een 1-variëteit.
• Een torus is een 2-variëteit (of oppervlak) net zoals de Kleinfles.

• De ${\displaystyle n}$-dimensionale sfeer ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$ is een compacte ${\displaystyle n}$-variëteit.
• De ${\displaystyle n}$-dimensionale torus ${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}}$ (het product van ${\displaystyle n}$ cirkels) is een compacte ${\displaystyle n}$-variëteit.

• Projectieve ruimten over de reële getallen, complexe getallen of de quaternionen zijn compacte variëteiten.
  • de reële projectieve ruimte ${\displaystyle P(\mathbb {R} ^{n})}$ is een ${\displaystyle n}$-dimensionale variëteit.
  • de complexe projectieve ruimte ${\displaystyle P(\mathbb {C} ^{n})}$ is een ${\displaystyle 2n}$-dimensionale variëteit.
  • de quaternionische projectieve ruimte ${\displaystyle P(\mathbb {H} ^{n})}$ is een ${\displaystyle 4n}$-dimensionale variëteit.

• Onder de variëteiten, die gerelateerd zijn aan de projectieve ruimte, zijn Grassmannianen, vlagvariëteiten en Stiefel-variëteiten.
• Lensruimten zijn een klasse van variëteiten die quotiënten van oneven-dimensionale sferen zijn.
• Lie-groepen zijn variëteiten, die zijn uitgerust met een groepstructuur.
• Enige open deelverzameling van een ${\displaystyle n}$-variëteit is een ${\displaystyle n}$-variëteit met de deelruimtetopologie.
• Als ${\displaystyle M}$ een ${\displaystyle m}$-variëteit is en ${\displaystyle N}$ een ${\displaystyle n}$-variëteit, dan is het product ${\displaystyle M\times N}$ een ${\displaystyle (m+n)}$-variëteit.
• De disjuncte vereniging van een familie van ${\displaystyle n}$-variëteiten is een ${\displaystyle n}$-variëteit (de onderdelen moeten allemaal dezelfde dimensie hebben).
• De verbonden som van twee ${\displaystyle n}$-variëteiten resulteert in een andere ${\displaystyle n}$-variëteit.

De eigenschap van het lokaal euclidisch zijn wordt bewaard door lokale homeomorfismen. Dat wil zeggen dat als ${\displaystyle X}$ lokaal euclidisch van dimensie ${\displaystyle n}$ is en ${\displaystyle f:X\to Y}$ een lokaal homeomorfisme is, dat dan ${\displaystyle Y}$ lokaal euclidisch van dimensie ${\displaystyle n}$ is. In het bijzonder is lokaal euclidisch zijn een topologische eigenschap.

Variëteiten erven veel van de lokale eigenschappen van de euclidische ruimte. In het bijzonder zijn zij lokaal compact, lokaal samenhangend, eerst-aftelbaar, lokaal samentrekbaar en lokaal metriseerbaar. Aangezien topologische variëteiten lokaal compacte hausdorff-ruimten zijn, zijn variëteiten noodzakelijkerwijs ook Tychonov-ruimten.

Een variëteit hoeft niet samenhangend te zijn, maar elke variëteit ${\displaystyle M}$ is een disjuncte vereniging van samenhangende variëteiten. Dit zijn slechts de samenhangende componenten van ${\displaystyle M}$, die open verzamelingen zijn, aangezien variëteiten lokaal samenhangend zijn. Aangezien variëteiten lokaal padsamenhangend zijn, is een variëteit dan en slechts dan pad-samenhangend als hij ook samenhangend is. Hieruit volgt dat de pad-componenten dezelfde zijn als de componenten.

Een 0-variëteit is gewoon een discrete ruimte. Zulke ruimten worden geclassificeerd op hun kardinaliteit. Elke discrete ruimte is paracompact. Een discrete ruimte is dan en slechts dan tweedst-aftelbaar als deze aftelbaar is.

Elke paracompacte, samenhangende 1-variëteit is homeomorf ofwel met ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ofwel met de cirkel. De niet-samenhangende zijn gewoon disjuncte verenigingen van deze.

• 3-variëteit
• 4-variëteit
• 5-variëteit