Overdekking (topologie)

Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling ${\displaystyle X}$ een topologische ruimte is, dan is een overdekking ${\displaystyle C}$ van ${\displaystyle X}$ een collectie van deelverzamelingen ${\displaystyle U_{\alpha }}$ van ${\displaystyle X,}$ waarvan de vereniging de gehele ruimte ${\displaystyle X}$ is. In dat geval zeggen we: ${\displaystyle C}$ overdekt ${\displaystyle X,}$ of ook de verzamelingen ${\displaystyle U_{\alpha }}$ overdekken ${\displaystyle X}$. Als ${\displaystyle Y}$ een deelverzameling van ${\displaystyle X}$ is, dan is een overdekking van ${\displaystyle Y}$ een collectie van deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$, waarvan de vereniging ${\displaystyle Y}$ bevat, dat wil dus zeggen dat ${\displaystyle C}$ een overdekking is van ${\displaystyle Y}$ als

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq Y}$

Laat ${\displaystyle C}$ een overdekking van een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ zijn. Een deeloverdekking van ${\displaystyle C}$ is dan een deelverzameling van ${\displaystyle C}$ die ${\displaystyle X}$ nog steeds overdekt.

We zeggen dat ${\displaystyle C}$ een open overdekking is als elk van de lidmaten een open verzameling is (dat wel zeggen dat elke ${\displaystyle U_{\alpha }}$ is vervat in de topologie ${\displaystyle T}$ op ${\displaystyle X.}$

Van een overdekking op ${\displaystyle X}$ wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als elk punt van ${\displaystyle X}$ een omgeving heeft, die slechts een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen, ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$ is lokaal eindig als voor enige ${\displaystyle x\in X}$ er enige omgeving ${\displaystyle O(x)}$ op ${\displaystyle X}$ bestaat, zodat de verzameling

${\displaystyle \{\alpha \in A\mid U_{\alpha }\cap O(x)\neq \varnothing \}}$

eindig is.

Van een overdekking op ${\displaystyle X}$ wordt gezegd dat deze punt-eindig is als elk punt van ${\displaystyle X}$ slechts in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking is vervat.

Een verfijning van een overdekking ${\displaystyle C}$ van ${\displaystyle X}$ is een nieuwe overdekking ${\displaystyle D}$ op ${\displaystyle X}$ zodat elke verzameling in ${\displaystyle D}$ is vervat in enige verzameling in ${\displaystyle C}$. In symbolen:

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\mid \beta \in B\}}$

is een verfijning van

${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\mid \alpha \in A\}}$

als er voor elke ${\displaystyle \beta \in B}$ een ${\displaystyle \alpha \in A}$ is, zodanig dat:

${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$.

Elke deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet elke verfijning is een deeloverdekking.

Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder; terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.

De verfijningsrelatie is een quasi-order op de verzameling van dekkingen op ${\displaystyle X}$.

De taal van de overdekkingen wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ wordt gezegd dat deze

• compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
• Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
• metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
• paracompact is, als elke open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.

• Exacte overdekking
• Overdekkingsruimte
• Atlas (topologie)
• Lebesgue overdekkingsdimensie

• (en) Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene Introduction to Topology (Introductie tot de topologie), Second Edition, Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
• (en) John L. Kelley, General Topology (Algemene topologie), D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.