Omgeving (wiskunde)

Als ${\displaystyle X}$ een topologische ruimte en ${\displaystyle p}$ een punt in ${\displaystyle X}$ is, dan is een omgeving van ${\displaystyle p}$ een verzameling ${\displaystyle V}$, die een open verzameling ${\displaystyle U}$ bevat, die op zijn beurt punt ${\displaystyle p}$ bevat,

${\displaystyle p\in U\subseteq V.}$

Dit is ook equivalent aan dat ${\displaystyle p\in X}$ een inwendig punt voor ${\displaystyle V}$ is.

Merk op dat de omgeving ${\displaystyle V}$ niet zelf een open omgeving hoeft te zijn. Als ${\displaystyle V}$ open is dan wordt ${\displaystyle V}$ een open omgeving genoemd. Sommige auteurs vereisen dat omgevingen open dienen te zijn, vandaar dat het belangrijk is om de conventies op te merken.

Een verzameling die een omgeving is van elk van haar punten is open, aangezien deze verzameling kan worden uitgedrukt als een vereniging van open verzamelingen die elk van punten in de verzameling bevatten.

De collectie van alle omgevingen van een punt noemt men het omgevingssysteem van dat punt.

Als ${\displaystyle S}$ een deelverzameling van ${\displaystyle X}$ is, dan is een omgeving van ${\displaystyle S}$ een verzameling ${\displaystyle V}$ die een open verzameling ${\displaystyle U}$ bevat die op zijn beurt weer ${\displaystyle S}$ bevat. Hieruit volgt dat een verzameling ${\displaystyle V}$ een omgeving van ${\displaystyle S}$ is dan en slechts dan als het een omgeving is van alle punten in ${\displaystyle S}$. Verder volgt hieruit dat ${\displaystyle V}$ een omgeving is van ${\displaystyle S}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle S}$ een deelverzameling van het inwendige van ${\displaystyle V}$ is.

Een verzameling ${\displaystyle S}$ in het vlak en een uniforme omgeving ${\displaystyle V}$ van ${\displaystyle S}$.

In een metrische ruimte ${\displaystyle M=(X,d)}$ is een verzameling ${\displaystyle V}$ een omgeving van een punt ${\displaystyle p,}$ als er een open bal met centrum ${\displaystyle p}$ en straal ${\displaystyle r}$ bestaat, zodanig dat

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

is vervat in ${\displaystyle V.}$

V wordt wel een uniforme omgeving van een verzameling ${\displaystyle S}$ genoemd, indien er een positief getal ${\displaystyle r}$ bestaat, zodanig dat voor alle elementen ${\displaystyle p}$ van ${\displaystyle S}$ geldt dat,

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

is vervat in ${\displaystyle V.}$

Voor ${\displaystyle r>0}$ is de ${\displaystyle r}$-omgeving ${\displaystyle S_{r}}$ van een verzameling ${\displaystyle S}$ de verzameling van alle punten in ${\displaystyle X}$ die op een afstand minder dan ${\displaystyle r}$ van ${\displaystyle S}$ (of equivalent, ${\displaystyle S_{r}}$ is de vereniging van alle open ballen van straal ${\displaystyle r}$ die zijn gecentreerd op een punt in ${\displaystyle S}$).

Hieruit volgt rechtstreeks dat een ${\displaystyle r}$-omgeving een uniforme omgeving is, en dat een verzameling een uniforme omgeving is dan en slechts dan als de verzameling een ${\displaystyle r}$-omgeving bevat voor enige waarde van ${\displaystyle r.}$

Gegeven de verzameling van de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ met de gebruikelijke Euclidische metriek en een deelverzameling ${\displaystyle V}$ gedefinieerd als

${\displaystyle V=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B(n\,;\,1/n),}$

dan is ${\displaystyle V}$ een omgeving voor de verzameling ${\displaystyle \mathbb {N} }$ van de natuurlijke getallen, maar is ${\displaystyle V}$ geen uniforme omgeving van deze verzameling.

Bovenstaande definitie komt van pas als de notie van een open verzameling al is gedefinieerd. Er is echter een alternatieve manier om een topologie te definiëren, namelijk door eerst het omgevingssysteem te definiëren, en vervolgens open verzamelingen te definiëren als die verzamelingen die een omgeving van elk van hun punten bevatten.

Een omgevingssysteem op ${\displaystyle X}$ de toekenning is van een filter ${\displaystyle N(x)}$ (op de verzameling ${\displaystyle X}$) aan elke ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X,}$ zodanig dat

1. het punt ${\displaystyle x}$ een element is van elke ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle N(x)}$
2. elke ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle N(x)}$ enige ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle N(x)}$ bevat, zodanig dat voor elke ${\displaystyle y\in V,}$, ${\displaystyle U}$ deel uitmaakt van ${\displaystyle N(y).}$

Men kan laten zien dat beide definities compatibel zijn, dat wil zeggen dat de topologie die wordt verkregen uit het omgevingssysteem dat is gedefinieerd door gebruik te maken van open verzamelingen de oorspronkelijk is en vice versa wanneer men start vanuit het omgevingssysteem.

In een uniforme ruimte ${\displaystyle S=(X,\delta )}$ wordt ${\displaystyle V}$ een uniforme omgeving van ${\displaystyle P}$ genoemd, als ${\displaystyle P}$ niet dichtbij ${\displaystyle X\setminus V}$ ligt, dat wil zeggen dat er geen entourage bestaat die ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle X\setminus V}$ bevat.

Een geperforeerde omgeving van een punt ${\displaystyle p}$ (soms ook een verwijderde omgeving genoemd) is een omgeving van ${\displaystyle p}$, zonder ${\displaystyle \{p\}.}$ Het interval ${\displaystyle (-1,1)}$ is bijvoorbeeld een omgeving van 0 op de reële lijn, zodanig dat de verzameling ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ een geperforeerde omgeving van 0 is. Merk op dat een geperforeerde omgeving van een gegeven punt in feite geen omgeving van dat punt is.

In de gewone topologie op de reële getallen is een verzameling, ${\displaystyle V}$ een omgeving van een getal ${\displaystyle r,}$ dan en slechts dan als de afstand van dat getal tot het complement van ${\displaystyle V}$ strikt positief is. Deze eigenschap geldt in willekeurige metrische ruimten.

In een ${\displaystyle T_{1}}$-ruimte (zie scheidingsaxioma) is ${\displaystyle x}$ het enige punt dat tot alle omgevingen van ${\displaystyle x}$ behoort. Deze eigenschap is kenmerkend voor ${\displaystyle T_{1}}$-ruimten.

Een punt ${\displaystyle x}$ behoort tot de topologische sluiting van een verzameling ${\displaystyle V\subset X}$ als en slechts als ${\displaystyle V}$ alle omgevingen van ${\displaystyle x}$ snijdt.

De verzameling ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}}$ van alle omgevingen van een gegeven punt ${\displaystyle x}$ vormt een filter:

1. Ze is niet leeg, want de ruimte ${\displaystyle X}$ behoort ertoe;
2. ze bevat niet alle deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$, want omgevingen van ${\displaystyle x}$ moeten minstens ${\displaystyle x}$ zelf bevatten;
3. de doorsnede van twee omgevingen van ${\displaystyle x}$ is een omgeving van ${\displaystyle x}$;
4. een uitbreiding van een omgeving van ${\displaystyle x}$ is een omgeving van ${\displaystyle x}$.

Men noemt ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}}$ het omgevingenfilter van ${\displaystyle x.}$