Punt (wiskunde)

In de meetkunde, de topologie en andere hieraan gerelateerde takken van de wiskunde is een punt een basisbegrip om een specifieke positie binnen een ruimte aan te duiden. Een punt heeft geen (fysieke) afmetingen, dus bijvoorbeeld geen lengte, oppervlakte of volume. Als een direct gevolg daarvan is een punt een object zonder dimensie, men zegt wel nuldimensionaal. Gezien de aard van een punt als een van de eenvoudigste meetkundige concepten, komen punten veel voor in de meetkunde, de natuurkunde, in vectorafbeeldingen en in veel andere gebieden.

Punten in de euclidische meetkunde

Punten in de tweedimensionale euclidische ruimte.

Binnen het raamwerk van de euclidische meetkunde is een punt een elementair object, een basisbegrip. Euclides, een wiskundige uit de klassieke oudheid, definieerde een punt, nogal vaag, als: "dat wat geen delen heeft". Deze definitie sluit aan op het moderne, intuïtieve begrip van een punt als een object zonder dimensie.

In de tweedimensionale euclidische ruimte wordt een punt weergegeven door een geordend paar getallen, $(x,y),$ waarin $x$ en $y$ de coördinaten voorstellen ten opzichte van de $x$ - en de $y$ -as. In drie dimensies wordt een punt aangegeven door een geordend drietal $(x,y,z).$ Bij meer dan drie dimensies wordt een punt aangegeven door geordende tupels van $n$ coördinaten, $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),$ waar $n$ staat voor de dimensie van de ruimte waar het punt zich in bevindt.

Veel constructies in de euclidische meetkunde bestaan uit een oneindig aantal punten die aan zekere axioma's voldoen. Een gegeven meetkundige figuur wordt weergegeven door een wiskundig nader gedefinieerde verzameling punten. Een lijn $L$ bijvoorbeeld is een oneindige verzameling punten van de vorm

L=\{(a_{1},a_{2},\ldots a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+\ldots +a_{n}c_{n}=d\}

,

waarin de coëfficiënten $(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n})$ en het getal $d$ constanten zijn en $n$ de dimensie van de ruimte voorstelt.

Voor gelijksoortige constructies als lijnstukken, vlakken, schijven bestaan vergelijkbare definities.

De grafentheorie gebruikt het concept 'punt' als element van een van de twee verzamelingen die een graaf beschrijven. Als een graaf op papier wordt weergegeven, worden de punten meestal weergegeven als een bepaalde locatie op het papier, vandaar de associatie met locatie in de grafentheorie.

In de topologie noemt men elk element van de drager van de topologische ruimte een punt.

In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie zijn punten de elementen van een variëteit.

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.