Logaritme

De logaritme voor het grondtal ${\displaystyle a}$ van een getal ${\displaystyle x}$ is de macht waartoe men het grondtal ${\displaystyle a}$ moet verheffen om ${\displaystyle x}$ als uitkomst te krijgen, dus:

${\displaystyle q=\log _{a}(x)\Longleftrightarrow a^{q}=x}$

Zowel het grondtal ${\displaystyle a}$ als het argument ${\displaystyle x}$ moeten groter zijn dan 0; bovendien mag het grondtal ${\displaystyle a}$ niet gelijk zijn aan 1.

De logaritme van 0 met welk grondtal dan ook is niet gedefinieerd, omdat er geen macht bestaat met welk grondtal dan ook die resulteert in nul. Daarom heeft elke grafiek van de logaritme geen beeld in nul. Er is steeds een verticale asymptoot bij ${\displaystyle x=0}$.

De logaritme is een wiskundige functie die wordt genoteerd als log met het grondtal ${\displaystyle a}$ als subscript: ${\displaystyle \log _{a}(x)}$, of als vooraangeplaatst superscript: ${\displaystyle ^{a}\!\log(x)}$.

Vaak wordt in een tekst met logaritmen steeds hetzelfde grondtal gebruikt. Men schrijft dan in de formules gewoon telkens ${\displaystyle \log }$. Het grondtal wordt dan eventueel eenmalig vermeld.

Voor de logaritmefunctie (en haar inverse) is een vast grondtal vereist. Elk getal groter dan 1 is hiervoor geschikt, en bij uitbreiding ook elk getal tussen 0 en 1. Maar vooral de volgende drie grondtallen worden veel gebruikt:

• Logaritmen met het grondtal ${\displaystyle e=2{,}718281828\ldots }$. Men spreekt van natuurlijke logaritme, of neperiaanse of neperse logaritme, naar de bedenker ervan John Napier. De natuurlijke logaritme wordt vaak genoteerd als ${\displaystyle \ln }$, maar men schrijft ook wel ${\displaystyle \log }$ in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend is dat de natuurlijke logaritme wordt bedoeld. Bijvoorbeeld:

${\displaystyle \ln(e^{3})=\,^{e}\!\log(e^{3})=3}$

• Logaritmen met het grondtal 10. Men spreekt van de briggse logaritme en noteert deze als ¹⁰log, log of log₁₀. Bijvoorbeeld:

${\displaystyle \log(100)=\,^{10}\!\log(100)=\log _{10}(100)=2}$

• Logaritmen met het grondtal 2. Dit type logaritmen komt voor in onder andere de informatica en vooral de informatietheorie. Deze logaritme wordt vaak genoteerd als log₂ of ²log, lb of opnieuw kortweg ${\displaystyle \log }$ als dit gezien de context vanzelfsprekend is. Bijvoorbeeld:

${\displaystyle \operatorname {lb} (8)=\,^{2}\!\log(8)=3}$

De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie, in de betekenis van "inverse voor de samenstelling van functies", niet in de betekenis van "inverse voor de vermenigvuldiging". In opeenvolging maken zij elkaar dus ongedaan.

Gevolg: machtsverheffen en dan logaritme nemen - beide met zelfde grondtal - heeft geen effect.

${\displaystyle \log _{a}(a^{q})=q}$

En logaritme nemen en dan machtsverheffen evenmin.

${\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x}$

De logaritme voor het grondtal ${\displaystyle a}$ is dus de inverse van de exponentiële functie met ${\displaystyle a}$ als grondtal. Wanneer men de grafiek van de logaritme voor het grondtal ${\displaystyle a}$ spiegelt ten opzichte van de lijn ${\displaystyle y=x}$, krijgt men zoals altijd de grafiek van de inverse functie, hier dus ${\displaystyle x\to a^{x}}$.

Logaritmen vormen de brug van de wereld van vermenigvuldigen (van strikt positieve reële getallen) naar de wereld van optellen (van alle reële getallen). De omgekeerde weg is zoals gezegd de exponentiële functie. Deze weg heen en terug heet een groepsisomorfisme omdat de mooie groepseigenschappen van de ene wereld erdoor automatisch worden overgedragen op de andere. Optellen en vermenigvuldigen blijken zich in zekere zin identiek te gedragen.

Commutativiteit betekent dat wanneer men eerst het ene doet en dan het andere, dat men dan hetzelfde uitkomt als omgekeerd. Er is een interessant commutatief diagram te tekenen. Als men een vierkant pad tekent en linksboven begint, dan leidt eerst naar rechts gaan en dan naar beneden tot rechtsonder. Maar eerst naar beneden gaan en dan naar rechts ook. Naar beneden gaan commuteert dus met horizontaal van kant wisselen. Laat nu links de wereld van vermenigvuldigen zijn, rechts die van optellen. Dan is naar rechts gaan logaritme nemen, en naar links gaan de exponentiële nemen. Naar beneden gaan is de bewerking doen (vermenigvuldigen of optellen). Door in dit vierkant van boven naar beneden te wandelen, komt men een aantal van de belangrijkste formules verderop uit. Bijvoorbeeld dat de logaritme van een product gelijk is aan de som van de logaritmen.

Titelpagina van de logaritmetabellen van Briggs

De Zwitserse klokkenmaker Jost Bürgi, in dienst van de landgraaf van Hessen-Kassel, was de eerste die het begrip logaritme ontwikkelde.

De natuurlijke logaritme werd voor het eerst in 1614 door John Napier genoemd, die beschouwd wordt als de uitvinder van de logaritme. Hij schreef erover in zijn boek Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Aanvankelijk gebruikte Napier het getal 1/e als grondtal. Hij noemde logaritmen "artificial numbers", kunstmatige getallen. Later bedacht hij de term "logaritme", om aan te geven dat het zowel om een verhouding als om een getal ging, van het Oudgrieks: λόγος, logos, in de betekenis van verhouding en άριθμός, arithmos, getal.

Het gebruik van logaritmen droeg door de vereenvoudiging van ingewikkelde berekeningen bij aan de vooruitgang van de wetenschap, speciaal aan de sterrenkunde. De logaritmen verdrongen de ingewikkelder prosthaphaeresis, gebaseerd op goniometrische vergelijkingen, als snelle methode om te vermenigvuldigen. Voor de komst van rekenmachines en computers, werden logaritmen veel gebruikt voor berekeningen, o.a. in de navigatie en de technische wetenschappen.

De Briggse logaritme is genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs. De logaritmetafels met het grondtal ${\displaystyle e}$ waren zeer moeilijk op te stellen. Ze waren daardoor onnauwkeurig. Briggs stelde voor het grondtal 10 toe te passen. Dit rekende gemakkelijker. Na een bezoek aan Napier in 1615 schreef Briggs zijn eerste werk, Logarithmorum Chilias Prima, Inleiding in de logaritmen, dat in 1617 verscheen. Hij schreef in 1624 nog een wiskundige verhandeling onder de titel Arithmetica Logarithmica. Dit werk bevatte de logaritmen van de natuurlijke getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000 berekend tot op 14 decimale cijfers. Hij stelde die tafels op door met pen en papier de eerste 27 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken met 16 cijfers na de komma. De 27 volgende wortels bepaalde hij met een benaderingsformule. In hetzelfde werk vinden we ook tafels voor de sinus tot 15 decimale cijfers en van de tangens en secans tot op 10 decimale cijfers.

De nog aanwezige leemte in de logaritmetafel, 70%, tussen 20.000 en 90.000 was nog niet berekend, werd in Gouda door de landmeter Ezechiel de Decker opgevuld in twee afzonderlijke uitgaven. In 1626 verscheen zijn Eerste deel der nieuwe telkonst en in 1627 samen met Adriaen Vlacq het Tweede deel van de nieuwe telkonst. De volledige tafels werden in 1628 in Vlacqs Arithematica Logarithmica voor het eerst gepubliceerd.

De uiteindelijke complete tabellen van Briggs werden in 1631 in Gouda gedrukt en in 1633 onder de titel van Trigonometria Britannica gepubliceerd. Dit werk was de opvolger van Briggs' in 1617 gepubliceerde Logarithmorum Chilias Prima. Dit was het eerste rekensysteem dat goed werkte.

Met behulp van logaritmen kunnen de volgende bewerkingen worden herleid tot optellingen en aftrekkingen.

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen met een rekenliniaal

Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen. Een eigenschap van logaritmen is namelijk dat een vermenigvuldiging omgezet kan worden naar een optelling:

${\displaystyle \log(a)+\log(b)=\log(ab)}$

Om het product van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ te berekenen, worden de logaritmen van ${\displaystyle a}$ en van ${\displaystyle b}$ bij elkaar opgeteld. Daarna wordt het getal gezocht waarvan dit resultaat de logaritme is. De logaritmen worden niet berekend, maar over en weer opgezocht in tabellen. Deze logaritmetafels (tabellen van getallen met hun logaritme) zijn al eeuwen geleden uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs etc.

Delen

Door logaritmen van elkaar af te trekken kunnen ook delingen uitgevoerd worden.

${\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log \left({\frac {a}{b}}\right)}$

Machtsverheffen

Neemt men twee maal achter elkaar de logaritme, dan kan men door op te tellen een getal verheffen tot een willekeurige macht.

${\displaystyle \log(\log(a))+\log(b)=\log \left(\log \left(a^{b}\right)\right)}$

Worteltrekken

Neemt men twee maal achter elkaar de logaritme, dan kan men door af te trekken een willekeurige wortel trekken.

${\displaystyle \log(\log(a))-\log(b)=\log \left(\log \left(a^{1/b}\right)\right)=\log \left(\log({\sqrt[{b}]{a}})\right)}$

Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmen gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de rekenmachine zijn zowel logaritmetafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde.

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft, dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. De wet van Weber zegt dat de menselijke zintuigen een logaritmische indruk opdoen van de intensiteit van de prikkel.

Bekende logaritmische schalen zijn:

• geluidssterkte: de decibel
• toonhoogte: de cent, maar ook in zekere zin de toonladder zelf (chromatische toonladder in gelijkzwevende stemming)
• zuurgraad: de pH
• zelfinformatie: de bit
• kracht van aardbevingen: de schaal van Richter
• helderheid van een ster: magnitude
• de neper voor toe- en afnames van toestandsgrootheden

De logaritme van een getal x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:

logaritme van 1 is 0, want 10⁰= 1

logaritme van 10 is 1, want 10¹= 10

logaritme van 100 is 2

logaritme van 1000 is 3

De orde van grootte van 3269 is ${\displaystyle \lfloor \log 3269\rfloor =3}$; de wetenschappelijke notatie is dan ook 3269=3,269·10³.

Het werkt ook voor negatieve machten. De orde van grootte van 0,03269 is ${\displaystyle \lfloor \log 0,03269\rfloor =-2}$; de wetenschappelijke notatie is: 0,03269=3,269·10⁻².

In een n-tallig talstelsel is het mogelijk om op onderstaande wijze het aantal cijfers voor de komma van een willekeurig getal x te bepalen.

aantal cijfers = ${\displaystyle \lfloor \log _{n}\left(x\right)+1\rfloor }$

Het aantal cijfers van een getal in het tientallige stelsel wordt dus bepaald door ${\displaystyle \lfloor \log \left(x\right)+1\rfloor }$.

Zijn ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ natuurlijke getallen, dan is ${\displaystyle \log _{a}(b)}$ over het algemeen een irrationaal getal. Alleen als er gehele getallen ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle m}$ zijn zodat ${\displaystyle a^{m}=b^{n}}$ is de logaritme rationaal, want gelijk aan ${\displaystyle m/n}$.

Voor logaritmen gelden de onderstaande limieten.

Voor ${\displaystyle a>1}$ geldt:

${\displaystyle {\begin{array}{clr}\displaystyle \lim _{x\,\to \,+\infty }&\log _{a}\left(x\right)=+\infty \\\displaystyle \lim _{x\,\downarrow \,0}&\log _{a}\left(x\right)=-\infty \\\end{array}}}$

Voor ${\displaystyle 0<a<1}$ geldt:

${\displaystyle {\begin{array}{clr}\displaystyle \lim _{x\,\to \,+\infty }&\log _{a}\left(x\right)=-\infty \\\displaystyle \lim _{x\,\downarrow \,0}&\log _{a}\left(x\right)=+\infty \\\end{array}}}$

Logaritmen laten zich gemakkelijk omzetten naar een ander grondtal; zij verhouden zich als een constante factor. Uit

${\displaystyle {\frac {\log _{a}\left(x\right)}{\log _{b}\left(x\right)}}={\frac {\frac {1}{\log _{x}\left(a\right)}}{\frac {1}{\log _{x}\left(b\right)}}}={\frac {\log _{x}\left(b\right)}{\log _{x}\left(a\right)}}=\log _{a}\left(b\right)}$,

volgt namelijk dat

${\displaystyle \log _{a}\left(x\right)=\log _{a}\left(b\right)\log _{b}\left(x\right)}$.

Overigens ziet deze betrekking er fraaier uit in de andere notatie voor logaritmen (het treintje):

${\displaystyle {}^{a}\!\log x={}^{a}\!\log b\cdot {}^{b}\!\log x}$.

Een bijzondere eigenschap van de natuurlijke logaritme is de eenvoudige vorm van z'n eerste afgeleide, namelijk:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln \left(x\right)={\frac {1}{x}}}$.

Uit de kettingregel volgt namelijk:

${\displaystyle 1=x'=\left(e^{\ln(x)}\right)'=e^{\ln(x)}\ln '(x)=x\ln '(x)}$,

waaruit het gestelde volgt.

Door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme en zijn afgeleide, is het mogelijk om de afgeleiden van andere logaritmen te bepalen.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}\left(x\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\log _{e}\left(x\right)}{\log _{e}\left(a\right)}}={\frac {1}{\ln a}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln \left(x\right)={\frac {1}{x\ln {a}}}}$

Aangezien ${\displaystyle x}$ altijd positief is, en ${\displaystyle \ln(a)>0}$ is voor ${\displaystyle a>1}$ en ${\displaystyle \ln(a)<0}$ is voor ${\displaystyle 0<a<1}$, is ${\displaystyle f(x)=\log _{a}\left(x\right)}$ een strikt stijgende functie als ${\displaystyle a>1}$ en een strikt dalende functie als ${\displaystyle 0<a<1}$.

Bij het werken met logaritmen kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande regels

• ${\displaystyle b^{\log _{b}(a)}=a}$ (definitie)
• ${\displaystyle \log _{a}\left(x^{g}\right)=g\log _{a}\left(x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\log _{n}{b}}{\log _{n}{a}}}=\log _{a}{b}}$ ${\displaystyle \left(n,a,b>0\wedge n,a\not =1\right)}$
• ${\displaystyle \log _{a}{bc}=\log _{a}\left(b\right)+\log _{a}\left(c\right)}$

volgt uit: ${\displaystyle a^{\log _{a}\left(bc\right)}=bc=a^{\log _{a}\left(b\right)}a^{\log _{a}\left(c\right)}=a^{\log _{a}\left(b\right)+\log _{a}\left(c\right)}}$

• ${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)=\log _{a}\left(b\right)-\log _{a}\left(c\right)}$

volgt uit: ${\displaystyle \log _{a}\left(bc^{-1}\right)=\log _{a}\left(b\right)+\log _{a}\left(c^{-1}\right)=\log _{a}\left(b\right)-\log _{a}\left(c\right)}$

• ${\displaystyle \log _{a}\left(1\right)=0}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(a\right)=1(a>0)}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}\left(x\right)}$ (soms ook geschreven: ${\displaystyle \mathrm {co} \log(x)}$)
• ${\displaystyle \log _{a}\left(b\right)={\frac {1}{\log _{b}\left(a\right)}}}$
• ${\displaystyle \log _{\left(a^{n}\right)}\left(b^{n}\right)=\log _{a}\left(b\right)}$ ${\displaystyle \left(b>0\wedge n\not =0\right)}$

volgt uit: ${\displaystyle \log _{a}\left(b\right)={\frac {\log _{c}\left(b\right)}{\log _{c}\left(a\right)}}={\frac {n\log _{c}\left(b\right)}{n\log _{c}\left(a\right)}}={\frac {\log _{c}\left(b^{n}\right)}{\log _{c}\left(a^{n}\right)}}=\log _{\left(a^{n}\right)}\left(b^{n}\right)}$

Hierboven was het argument ${\displaystyle x}$, het getal waarvan we een logaritme nemen, steeds een positief reëel getal. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar de complexe en daarmee ook naar de negatieve getallen. De logaritme van de complexe getallen kan niet voor verschillende grondtallen worden genomen, maar de complexe logaritme van een positief getal ${\displaystyle x}$ komt met de natuurlijke logaritme ${\displaystyle \ln(x)}$ van ${\displaystyle x}$ overeen.

Het complexe getal ${\displaystyle w}$ heet een logaritme van ${\displaystyle z}$, dus ${\displaystyle w=\log \,z}$, als ${\displaystyle e^{w}=z}$. Men spreekt van een logaritme omdat er in het algemeen bij ${\displaystyle z}$ oneindig veel getallen ${\displaystyle w}$ zijn die als logaritme optreden. Vanwege de identiteit van Euler, ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$, verschillen de diverse logaritmen van een complex getal een geheel veelvoud van ${\displaystyle 2\pi i}$ van elkaar. Schrijft men het complexe getal in poolcoördinaten:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$,

met absolute waarde ${\displaystyle r}$ en argument ${\displaystyle \varphi }$, dan is ieder getal

${\displaystyle w=\log r+i\varphi +2n\pi i}$

een logaritme van ${\displaystyle z}$. De logaritme voor complexe getallen ${\displaystyle z}$ is een meerwaardige functie:

${\displaystyle \log z=\log r+i\varphi +2n\pi i}$.

Het is gebruikelijk het argument ${\displaystyle \varphi }$ zo te definiëren dat ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$. Deze waarde van de logaritme, dus met ${\displaystyle n=0}$, heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Negatieve getallen zijn complexe getallen. Bijvoorbeeld ${\displaystyle z=-1}$ is een complex getal op de eenheidscirkel met argument ${\displaystyle \varphi =\pi }$. De logaritme van −1 heeft daarom een hoofdwaarde van ${\displaystyle \log 1+\pi i=\pi i}$.

Het is mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar quaternionen.

Een quaternion ${\displaystyle w}$ heet een logaritme van ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle w=\log q}$, als ${\displaystyle e^{w}=q}$.

Men spreekt van een logaritme omdat er bij ${\displaystyle q}$ oneindig veel getallen ${\displaystyle w}$ zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van ${\displaystyle 2\pi v}$, waarin ${\displaystyle v}$ de eenheidsvector is die overeenkomt met ${\displaystyle q}$, zodanig dat ${\displaystyle v^{2}=-1}$ en

${\displaystyle v={\frac {q-\mathrm {Re} (q)}{|q-\mathrm {Re} (q)|}}}$.

Dit komt doordat ${\displaystyle e^{2n\pi i}=1}$.

Schrijft men ${\displaystyle q}$ als:

${\displaystyle q=re^{v\phi }}$,

met absolute waarde ${\displaystyle r}$, argument ${\displaystyle \varphi }$ en eenheidsvector ${\displaystyle v}$, dan is elk van de getallen

${\displaystyle w=\log r+v\phi +2n\pi v}$

een logaritme van ${\displaystyle q}$. De logaritme voor quaternionen ${\displaystyle q}$ is een meerwaardige functie:

${\displaystyle \log q=\log r+v\phi +2n\pi v}$.

(N.B. Het is gebruikelijk het argument ${\displaystyle \varphi }$ zo te definiëren dat ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$.)

De waarde van de logaritme voor ${\displaystyle n=9}$, heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Voor twee quaternionen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ geldt:

${\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log a}{\log b}}}$

Dit is opnieuw een meerwaardige functie die afhangt van twee gehele getallen ${\displaystyle n_{1}}$ (behorend bij ${\displaystyle \log(a)}$) en ${\displaystyle n_{2}}$ (behorend bij ${\displaystyle \log(b)}$). Stelt men nu ${\displaystyle n_{1}=n_{1}=0}$, dan krijgt men de hoofdwaarde van ${\displaystyle \log _{b}a}$

Logaritmen zijn een hulp bij berekeningen met grote getallen, geschreven als een macht, die met een grafische rekenmachine onmogelijk zijn uit te rekenen (zonder herschrijven).

ISO 31-11, de ISO-standaard voor wiskundige tekens, geeft voor de volgende logaritmen de notatie:

Grondtal	Symbool
10	lg
e	ln
2	lb
${\displaystyle a}$	${\displaystyle \log _{a}}$

In de onderstaande figuur zijn de waarden van de logaritme met grondtal 10, van de Briggse logaritme af te lezen.

Grafiek van de logaritme met grondtal 10.
Let op: aan de linkerzijde van de grafiek heeft de logaritme als verticale asymptoot de lijn ${\displaystyle x=0}$. De grafiek gaat naar ${\displaystyle -\infty }$ als ${\displaystyle x}$ naar nul nadert, aan de rechterkant is er geen asymptoot.