Commutativiteit

De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.[1][2]

1. Een binaire operatie ${\displaystyle *}$ op een verzameling ${\displaystyle S}$ wordt commutatief genoemd als voor alle elementen ${\displaystyle x,y\in S}$ geldt:

${\displaystyle x*y=y*x}$

Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd

2. Een binaire functie ${\displaystyle f:A\times A\to B}$ wordt commutatief, of symmetrisch, genoemd, als voor alle elementen ${\displaystyle x,y\in A}$ geldt:

${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)}$

In het algemeen zegt men dat twee elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ commuteren onder de operatie ${\displaystyle *}$, als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig tweetal elementen met elkaar commuteert.

De centralisator van een element ${\displaystyle x\in S}$ bestaat uit de elementen van ${\displaystyle S}$ die met ${\displaystyle x}$ commuteren. Algemener: de centralisator van een deelverzameling ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle S}$ bevat de elementen van ${\displaystyle S}$ die met alle elementen van ${\displaystyle D}$ commuteren.

De groepentheorie en de theorie der ringen hanteren elk een verschillend begrip van commutator, dit is een element dat intuïtief de mate aangeeft waarin ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ niet commuteren.

In de categorietheorie is een diagram commutatief als elke twee samenstellingen van morfismen in het diagram die hetzelfde domein en doel hebben, gelijk zijn.

• Associativiteit (wiskunde)
• Distributiviteit