Machtsverheffen

Voor het natuurlijke getal ${\displaystyle n\neq 0}$ is de ${\displaystyle n}$-de macht van het grondtal ${\displaystyle x}$, genoteerd als ${\displaystyle x^{n}}$, gedefinieerd als het product van ${\displaystyle n}$ factoren ${\displaystyle x}$.

Uit deze definitie volgt ook dat

${\displaystyle x^{1}=x}$

De gebruikelijke notatie is om de exponent ${\displaystyle n}$, die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Voor ${\displaystyle n=0}$ is een aparte definitie nodig. Voor ${\displaystyle x\neq 0}$ is de gebruikelijke definitie:

${\displaystyle x^{0}=1}$

Met deze definitie blijft de betrekking ${\displaystyle x^{n+1}=x\cdot x^{n}}$ geldig voor ${\displaystyle n=0}$.

Door de uitbreiding van de definitie met:

${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}}$

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

${\displaystyle x^{\frac {1}{m}}={\sqrt[{m}]{x}}}$

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

De notaties ${\displaystyle x^{2}}$ en ${\displaystyle x^{3}}$ als afkortingen voor ${\displaystyle x\cdot x}$ en ${\displaystyle x\cdot x\cdot x}$ komen voor bij Thomas Harriot in zijn postume werk Artis analyticae praxis uit 1631. René Descartes maakt uitgebreid gebruik van die notatie voor positieve gehele exponenten. John Wallis definieert negatieve en gebroken exponenten.[1]

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor ${\displaystyle x\neq 0}$ is:

• ${\displaystyle x^{0}=1}$
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$
• ${\displaystyle x^{a}x^{b}=x^{a+b}}$

• ${\displaystyle {\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}}$

De afspraak ${\displaystyle x^{0}=1}$ is zo gekozen dat de genoemde rekenregels algemeen geldig zijn voor ${\displaystyle x\neq 0}$

• ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}}$ voor ${\displaystyle x>0}$, en ook voor ${\displaystyle x\neq 0}$ als ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ geheel zijn.

Deze rekenregel houdt bijvoorbeeld in dat ${\displaystyle x^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}={({\sqrt[{m}]{x}})}^{n}}$.

N.B. machtsverheffen is dus ook niet associatief; d.w.z dat in het algemeen niet geldt dat ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{b}=x^{\left(a^{b}\right)}}$

• ${\displaystyle \left(xy\right)^{a}=x^{a}y^{a}}$ als ${\displaystyle a}$ geheel is of als ${\displaystyle x,y>0}$.

Als het grondtal ${\displaystyle 0}$ is, geldt nog:

voor ${\displaystyle a>0}$ is:

• ${\displaystyle 0^{a}=0}$

• ${\displaystyle 0^{0}}$ wordt vaak niet gedefinieerd. Soms wordt ervoor gekozen ${\displaystyle 0^{0}=1}$ te stellen, zie onder: Nul tot de macht nul.

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal ${\displaystyle a}$ geldt:

${\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln {a}}}$

Daar machtsverheffen niet commutatief is,

${\displaystyle 2^{3}=8}$

terwijl

${\displaystyle 3^{2}=9}$,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$ en ${\displaystyle ^{2}\!\log 8=3}$

${\displaystyle {\sqrt[{2}]{9}}=3}$ en ${\displaystyle ^{3}\!\log 9=2}$

Vatten we de ${\displaystyle a}$-de macht van ${\displaystyle x}$ op als functie van ${\displaystyle x}$, dus voor zekere exponent ${\displaystyle a}$ is:

${\displaystyle f(x)=x^{a}}$,

dan wordt de afgeleide gegeven door:

${\displaystyle f'(x)=ax^{a-1}}$.

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal ${\displaystyle a}$ is:

${\displaystyle g(x)=a^{x}}$

dan wordt de afgeleide gegeven door:

${\displaystyle g'(x)=a^{x}\ln(a)}$,

waarin ${\displaystyle \ln(a)}$ de natuurlijke logaritme van ${\displaystyle a}$ is.

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

${\displaystyle e^{\pi \cdot i}=-1}$.

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$, met ${\displaystyle a>0}$, geldt

${\displaystyle a^{b}=e^{b\cdot \ln {a}}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(b\cdot \ln {a})^{n}}{n!}}}$

In situaties waar de exponent niet continu verandert komt men de afspraak ${\displaystyle 0^{0}=1}$ op een aantal plaatsen tegen:

• De IEEE standaard.
• Combinatorisch stelt ${\displaystyle n^{m}}$ het aantal afbeeldingen voor van een verzameling van ${\displaystyle m}$ elementen in een verzameling van ${\displaystyle n}$ elementen. Doorredenerend is ${\displaystyle 0^{0}}$ het aantal afbeeldingen van de lege verzameling in de lege verzameling. Dat is er maar 1 (de lege functie).
• Een machtreeks als ${\displaystyle \textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ zou anders niet gedefinieerd zijn voor ${\displaystyle x=0}$, of men zou de langere formule ${\displaystyle \textstyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$moeten hanteren. Hetzelfde geldt voor polynoom notatie ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}x^{n}}$.
• De formule voor het binomium ${\displaystyle \textstyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}$ is niet geldig voor ${\displaystyle x=0}$ zonder deze afspraak.
• De formule waarin staat dat de afgeleide functie van ${\displaystyle \textstyle f(x)=x^{n}}$ voor alle ${\displaystyle n\neq 0}$ gelijk is aan ${\displaystyle \textstyle f'\left(x\right)=nx^{n-1}}$ maakt, bij n=1, impliciet de aanname dat ${\displaystyle x^{0}=1}$ voor alle ${\displaystyle x}$.
• De stelling dat men bij machtsverheffing modulo ${\displaystyle m}$ het grondtal mag herleiden klopt alleen als ${\displaystyle 0^{0}=1}$.

• Rekenen
• Herhaald machtsverheffen
• Kwadraat: de tweede macht van een getal
• Kubusgetal: de derde macht van een getal

• What does 0^0 (zero raised to the zeroth power) equal? Why do mathematicians and high school teachers disagree?