Natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme, of neperse logaritme, is een speciaal geval van de in de wiskunde gedefinieerde logaritme. De natuurlijke logaritme heeft als grondtal de wiskundige constante e (een symbool dat geïntroduceerd werd door Leonhard Euler). De natuurlijke logaritme wordt in meer praktisch gerichte situaties aangeduid door $\ln$ (logaritmus naturalis), maar men schrijft ook wel $\log$ in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend is dat de natuurlijke logaritme wordt bedoeld. De term 'natuurlijke logaritme' is afkomstig van de Duitse wiskundige Nikolaus Mercator.

De natuurlijke logaritme van het getal $x,$ is dus:

\ln(x)=\ ^{\mathrm {e} }\!\log(x)

Voor de natuurlijke logaritme gelden dezelfde rekenregels als voor een logaritme met een willekeurig getal als grondtal.

Machtreeks

Voor reële getallen $0<x<2$ geldt:

\ln(x)={\frac {(x-1)^{1}}{1}}-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(x-1)^{k}}{k}}

Eigenschappen

De natuurlijke logaritme heeft een aantal speciale eigenschappen, zoals:

de afgeleide is ${\frac {\mathrm {d} \ln(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}$
de inverse functie is de e-macht, dus $e^{\ln(x)}=x$ .
Is $a$ een algebraïsch getal en verschillend van 1, dan is $\ln(a)$ een transcendent getal. Dit volgt uit de stelling van Lindemann-Weierstrass.

Zie ook

Wiskundige functies

Basisfuncties:	optellen · aftrekken · vermenigvuldigen · delen · machtsverheffen · worteltrekken
Logaritme:	logaritme · natuurlijke logaritme · exponentiële functie
Trigonometrie:	sinus en cosinus · tangens en cotangens · secans en cosecans
Inverse functies:	arcsinus · arccosinus · arctangens · arccotangens · arcsecans · arccosecans
Overig:	hyperbolische functies

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.