Sinus en cosinus

Deze functie is periodiek, met periode ${\displaystyle 2\pi }$. De sinus heeft dus dezelfde waarde voor de hoeken ${\displaystyle \alpha ,\alpha +2\pi ,\alpha +4\pi ,\ldots }$ De grafiek is op de intervallen ${\displaystyle [2\pi ,4\pi ),[4\pi ,6\pi ),}$ enzovoort een herhaling van het deel tussen ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle 2\pi .}$ Dit komt, doordat een hoek van bijvoorbeeld 480° = 1×360°+120°, dus een keer helemaal rond en dan nog eens 120°, als echte hoek gelijk is aan een hoek van 120°. De bijbehorende waarden van sinus en cosinus zijn dan ook steeds gelijk.

De constructie en eigenschappen van de cosinus zijn analoog aan die van de sinus. Er geldt:

${\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left(\alpha -{\tfrac {\pi }{2}}\right),}$

zodat de grafiek van de cosinus gelijk is aan de ${\displaystyle \pi /2}$ naar links verschoven grafiek van de sinus.

Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125 v.Chr.), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165 na Chr.), Aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (14e eeuw), Ulugh Beg (14e eeuw), Regiomontanus (1464), Rheticus, en Rheticus' leerling Valentin Otho.

De Arabieren introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. In de 12e eeuw werden de Arabische werken vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip ingeburgerd.

In de oorspronkelijke definitie zijn sinus en cosinus verhoudingen van bepaalde zijden in een rechthoekige driehoek. De grootte van de driehoek speelt daarbij geen rol; voor een bepaalde hoek zijn de verhoudingen onafhankelijk van de grootte van de driehoek. Dit valt onmiddellijk aan te tonen met gelijkvormigheid.

Als eerste kennismaking wordt deze methode nog vaak onderwezen bij wijze van opstap naar de vernieuwde, meer algemene benadering. Men heeft hiervoor gekozen omdat het abstractieniveau beduidend lager is en de toepassingsmogelijkheden veel duidelijker zijn. Hoewel de regels niet moeilijk zijn, worden ze vaak door elkaar gehaald. Het ezelsbruggetje SOS Castoa wordt hierom nog weleens toegepast door wiskundeleraren. Deze goniometrische verhoudingen worden vaak geïntroduceerd in de derde klas van de middelbare school.

Stompe hoeken zouden volgens de genoemde definitie geen sinus of cosinus kunnen hebben. Men heeft om dit probleem op te lossen de sinus en cosinus geherdefinieerd. Bij afspraak is de sinus van ${\displaystyle \theta }$ het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt ${\displaystyle P}$ van de hoek ${\displaystyle \theta }$ op de goniometrische cirkel. De cosinus is het eerste coördinaatgetal.

Deze definitie heeft een paar voordelen en verschaft de volgende inzichten:

• De sinus en cosinus van elke hoek, ongeacht zijn grootte, valt te bepalen.
• De sinus en cosinus van de hoek van 45° zijn gelijk. Dit blijft als er een aantal keer 180° bij wordt opgeteld of afgetrokken.
• De sinus en cosinus van de hoek van 135° zijn elkaars tegengestelde. Dit blijft als er een aantal keer 180° bij wordt opgeteld.
• Hoeken die elkaars tegengestelde zijn (bijvoorbeeld 60° en −60°) hebben dezelfde cosinussen en tegengestelde sinussen.
• Hoeken die samen 180° zijn (supplementair) hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.
• Hoeken waarvan het verschil 180° is (antisupplementair), hebben tegengestelde sinussen en cosinussen.
• De sinus van een hoek en de cosinus van de hoek waarmee hij samen 90° vormt (complement) zijn gelijk. Vandaar ook de naam complementaire sinus.
• De sinus van een hoek en de cosinus van de hoek waarmee zijn verschil 90° is (anticomplement) zijn gelijk.
• Uit het gebruik van de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras valt af te leiden dat ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.}$

De functies sinus en cosinus worden abstract gedefinieerd als de functies ${\displaystyle f(x)}$ en ${\displaystyle g(x)}$ die voldoen aan:

${\displaystyle f(0)=0}$

${\displaystyle g(0)=1}$

${\displaystyle f'(x)=g(x)}$

${\displaystyle g'(x)=-f(x)}$

De enige functies die daaraan voldoen zijn de sinus en cosinus.

De volgende reeksontwikkelingen gelden voor de sinus en de cosinus:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}={\frac {1}{1!}}x-{\frac {1}{3!}}x^{3}+{\frac {1}{5!}}x^{5}-\ldots }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{4!}}x^{4}-\ldots }$

${\displaystyle \sin x={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}}$

en

${\displaystyle \cos x={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}}$.

Deze formules definiëren de functies ook voor complexe ${\displaystyle x}$.

Deze twee relaties kunnen worden afgeleid uit de formule van Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b}$

${\displaystyle \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b}$

Voor meer formules: zie de lijst van goniometrische gelijkheden.

De sinus en de verwante goniometrische functies zoals de cosinus, worden bijzonder vaak toegepast, vooral in de studie van golven. Een van de eigenschappen van de sinus is dat de tweede afgeleide ook een sinus is (met een min-teken). Voor de cosinus geldt een analoge eigenschap. Dit maakt de sinus en de cosinus een oplossing van de golfvergelijking, die een differentiaalvergelijking van de tweede graad is.

Een andere toepassing van de sinusfunctie en andere goniometrische functies is het converteren van een coördinaat in het polaire coördinatenstelsel naar het cartesische coördinatenstelsel. De x- en y-coördinaat in een assenstelsel worden berekend via:

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

en

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

Daarin is ${\displaystyle \theta }$ de poolhoek en ${\displaystyle r}$ de poolstraal.

Het is praktisch enkele waarden van de sinus, de cosinus en de tangens te kennen:

graden	0°	30°	45°	60°	90°
radialen	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$
sinus	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$
cosinus	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$
tangens	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	geen

Of, makkelijker te onthouden:

graden	0°	30°	45°	60°	90°
radialen	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$
sinus	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {0}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4}}}$
cosinus	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {0}}}$
tangens	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}^{-1}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}^{0}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}^{1}}$	geen

• Cosinusregel
• Goniometrie
• Goniometrische functie
• Sinusregel
• Soscastoa
• Sinusoïde
• Tangens en cotangens
• Lijst van goniometrische gelijkheden