Getal (wiskunde)

In de wiskunde worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De verzamelingenleer zelf is deels ontstaan vanuit vraagstellingen over de aard der reële getallen en hun verband met de rationale getallen.

Het klassieke getalbegrip is dat van het aantal elementen van een eindige verzameling, waaraan in een iets recenter verleden ook 0 werd toegevoegd: de natuurlijke getallen, ${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$, voorgesteld door de verzameling ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Grotere getalverzamelingen ontstaan wanneer men een vorm wil geven aan "denkbeeldige" oplossingen van een vergelijking die in de tot dan toe beschouwde getallen onoplosbaar is.[3] Zo heeft de vergelijking ${\displaystyle x+1=0}$ geen oplossing in de natuurlijke getallen, maar wel als we negatieve getallen toelaten;[4] de natuurlijke getallen worden dan een deelverzameling van de gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat.

Deze verzameling kan verder uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn, om "onoplosbare" vergelijkingen zoals ${\displaystyle 3x=2}$ te behandelen: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. De deelverzameling van de rationale getallen die een eindige decimale voorstelling hebben, worden decimale fracties of decimale getallen genoemd, soms weergegeven met ${\displaystyle \mathbb {D} }$.

Ook in de rationale getallen bestaan er eenvoudige algebraïsche vergelijkingen die onoplosbaar zijn. De Oude Grieken wisten al dat de vierkantswortel van 2 niet als een breuk kan worden geschreven, met andere woorden dat ${\displaystyle x^{2}=2}$ niet oplosbaar is in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.[5] In een modern kader haalt men hieruit de definitie van de algebraïsche getallen: de kleinste lichaamsuitbreiding ${\displaystyle \mathbb {A} }$ van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ waarin elke veelterm in één veranderlijke met rationale coëfficiënten ontbindbaar is in factoren van de eerste graad.

Historisch zijn echter eerst de reële getallen beschreven, door een procedé dat eerder analytisch dan algebraïsch is. Men vertrekt van de vaststelling dat er grootheden bestaan, zoals π, de wortel uit twee en het getal e, die niet in breukvorm te schrijven zijn; zij vormen de irrationale getallen. Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen, voorgesteld door ${\displaystyle \mathbb {R} }$. De verzameling der reële getallen wordt meestal gedefinieerd als de topologische vervollediging van de rationale getallen, dat wil zeggen de limieten van Cauchyrijen in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Een andere mogelijke definitie, die niet uitdrukkelijk gebruik maakt van limieten, gaat als volgt:

We stellen vast dat ieder rationaal getal ${\displaystyle q}$ de verzameling ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ in twee disjuncte delen splitst: enerzijds de breuken die kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle q}$ zijn, en anderzijds de breuken die strikt groter zijn dan ${\displaystyle q.}$ Ieder element van de eerste deelverzameling is strikt kleiner dan ieder element van de tweede. Er bestaan echter ook andere tweedelingen ${\displaystyle \mathbb {Q} =A\cup B}$ met ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ zodat ${\displaystyle \forall a\in A,b\in B:a<b,}$ maar die niet door een dergelijke breuk ${\displaystyle q}$ worden voortgebracht; die andere tweedelingen noemen we de irrationale getallen. Een reëel getal is een tweedeling van de rationale getallen volgens de relatie "is strikt kleiner dan".

De complexe getallen ontstaan door aan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ een oplossing van de (niet reëel oplosbare) algebraïsche vergelijking ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ toe te voegen, de imaginaire eenheid ${\displaystyle i}$. In deze verzameling, voorgesteld met de letter ${\displaystyle \mathbb {C} }$, zijn alle algebraïsche vergelijkingen oplosbaar; men zegt dat de complexe getallen algebraïsch gesloten zijn.

We krijgen de volgende ordening tussen de verschillende verzamelingen:

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {D} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

(⊂ betekent "is een ware deelverzameling van")

De verzameling ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ligt tussen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ en ${\displaystyle \mathbb {C} }$, maar is niet vergelijkbaar met ${\displaystyle \mathbb {R} }$ omdat er ook niet-algebraïsche reële getallen (zgn. transcendente reële getallen) bestaan. De vierkantswortel uit 2 is algebraïsch, maar de hierboven aangehaalde ${\displaystyle \pi }$ en ${\displaystyle e}$ zijn transcendent: ze zijn nulpunten van geen enkele veelterm met rationale coëfficiënten.

Het begrip oneindig wordt gewoonlijk niet als een getal beschouwd, hoewel er in bepaalde gevallen ook rekenregels voor gelden. Het is echter niet zo dat elk oneindig aantal evenveel is, daarom heeft men de natuurlijke getallen uitgebreid tot kardinaalgetallen en ordinaalgetallen. Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal als er tussen de verzamelingen een bijectie bestaat; twee welgeordende verzamelingen hebben hetzelfde ordinaalgetal als er een bijectie bestaat die de welordening respecteert.

Nog andere getalverzamelingen zijn:

• quaternionen
• octonionen

Beiden zijn uitbreidingen van de complexe getallen waarin een deel van de rekenkundige regels bewaard blijft.

Daarnaast zijn er verzamelingen van getallen met bijzondere eigenschappen. Een eenvoudig voorbeeld daarvan zijn de even en oneven getallen. Het meest fundamenteel en bekend zijn waarschijnlijk de priemgetallen, die een basis vormen voor de vermenigvuldiging. Getallen die het product zijn van twee of meer priemgetallen heten dan weer samengesteld. Perfecte getallen zijn dan weer getallen waarvan de som van de echte delers opgeteld gelijk zijn aan het getal zelf.

Andere voorbeelden van bijzondere soorten natuurlijke getallen zijn:

• Fermatgetallen
• Kaprekargetallen
• Overvloedige getallen
• Driehoeksgetallen, kwadraten en andere figuratieve getallen

Binnen de algebraïsche getallen onderscheidt men soms bijzondere deellichamen of deelringen waarvan de elementen met eenvoudige middelen kunnen worden bereikt vanuit de rationale getallen:

• Construeerbare getallen zijn afstanden die meetkundig kunnen worden geconstrueerd vanuit lijnstukken met rationale lengtes door alleen gebruik te maken van een passer en een ongemarkeerde liniaal. De stelling van Gauss-Wantzel zegt dat de zijde van een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek, ingeschreven in een cirkel met straal 1, construeerbaar is als en slechts als ${\displaystyle n}$ het product is van een macht van 2 met nul of meer onderling verschillende Fermat-priemgetallen. Het eerste tegenvoorbeeld is de regelmatige zevenhoek.
• Radicale getallen zijn getallen die kunnen worden geschreven door alleen gebruik te maken van rationale getallen, de vier hoofdbewerkingen, ${\displaystyle n}$-de machtswortels en haakjes. De stelling van Abel-Ruffini bewijst dat niet alle algebraïsche getallen radicaal zijn.
• Algebraïsche gehele getallen zijn (niet noodzakelijk reële) nulpunten van polynomen met gehele coëffiënten waarvan de hoogstegraadscoëfficiënt 1 is (monische veeltermen). De vierkantswortel uit 2 en de imaginaire eenheid ${\displaystyle i}$ zijn algebraïsche gehele getallen omdat ze respectievelijk nulpunten zijn van de monische veeltermen ${\displaystyle x^{2}-2}$ en ${\displaystyle x^{2}+1.}$

De meest gebruikelijke definitie van de reële getallen stelt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gelijk aan de topologische vervollediging van de rationale getallen ten opzichte van de afstandsfunctie ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|.}$ In de getaltheorie worden alternatieven voor de absolute waarde bestudeerd, valuaties genaamd. Met een gegeven vast priemgetal ${\displaystyle p}$ wordt een valuatie ${\displaystyle |.|_{p}}$ geassocieerd die van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ een metrische ruimte maakt, en het lichaam ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der ${\displaystyle p}$-adische getallen is de topologische vervollediging van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ten opzichte van die afstandsfunctie. In tegenstelling tot ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ die een topologisch volledige algebraïsche sluiting ${\displaystyle \mathbb {C} }$ heeft, is de algebraïsche sluiting van ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ topologisch niet meer volledig; door echter van die verzameling op haar beurt de topologische vervollediging ${\displaystyle \Omega _{p}}$ te nemen, bekomt men een lichaam dat zowel algebraïsch gesloten als topologisch volledig is: de ${\displaystyle p}$-adische complexe getallen.

Alle getallen beneden de duizend worden aan elkaar geschreven. Na het getal duizend volgt een spatie als duizendscheider. Ook komt er een spatie voor en na miljoen, miljard, biljoen enzovoort. Getallen onder de 10 000 kunnen als veelvouden van 100 of van 1000 worden gelezen, bijvoorbeeld het getal 1 282 kan als duizend tweehonderdtweeëntachtig of als twaalfhonderdtweeëntachtig worden uitgesproken. De schrijfwijzen zijn in beginsel taalafhankelijk: in andere talen gelden andere regels.

Voorbeelden:

• 22 500 = tweeëntwintigduizend vijfhonderd
• 5 143 317 = vijf miljoen honderddrieënveertigduizend driehonderdzeventien
• 100 000 000 = honderd miljoen

De taalafhankelijkheid geldt ook voor de namen voor de machten van tien: waar in het Nederlands voor het getal 1 000 000 000 het woord miljard gebruikt wordt, is het in landen, waar Engels wordt gesproken, gebruikelijk dit een billion te noemen, terwijl een biljoen in het Nederlands weer wijst naar 1 000 000 000 000. Het is het verschil tussen de korte en de lange schaal, de twee verschillende systemen om grote getallen een naam te geven.

Het al dan niet voluit schrijven van getallen is afhankelijk van de context, de smaak en de stijl. Doorgaans werkt de volgende regel: eenvoudige getallen betreffende de leeftijd, aantallen of de hoeveelste keer zijn voluit geschreven. Jan werd op zijn negentiende voor de tweede maal opgeroepen. Zijn dienstplicht vervulde hij samen met vierduizend man. Getallen die (meestal) met cijfers geschreven worden, zijn:

• Financiële bedragen, zoals prijs, loon
• Jaartallen
• Datum, zoals geboortedatum
• Huisnummer
• Postcode
• Telefoonnummer, pincode, bankrekeningnummer

Als een getal niet voluit wordt geschreven, hanteren moderne teksten bijna in alle omstandigheden het tientallige stelsel, dat is het gebruikelijke positionele stelsel waarin een getal wordt voorgesteld als een opeenvolging van de cijfers 0-9, en waarbij de waarde van ieder cijfer afzonderlijk afhangt van de plaats in de rij (eenheden, tientallen, honderdtallen, enz.).

Het tientallige stelsel is een voorbeeld van wat in het algemeen een talstelsel heet. Hierbij wordt het getal geschreven als een rijtje cijfers, waarbij elk cijfer afkomstig is uit het gekozen talstelsel. Gewoonlijk worden getallen decimaal geschreven, maar in de informatica wordt vooral voor natuurlijke getallen ook veel binair, octaal en hexadecimaal gewerkt.

De algemene formule voor het werken met n-tallige stelsels is:

${\displaystyle [[a_{m}...a_{2}a_{1}a_{0}]]_{n-tallig}=\sum _{i=0}^{m}a_{i}n^{i}=}$ ${\displaystyle a_{m}n^{m}+a_{m-1}n^{m-1}+...+a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}$

De machten van ${\displaystyle n}$ zijn de gewichten of weegfactoren van de cijfers.

Zie Wetenschappelijke notatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In wetenschap en techniek komen soms getallen voor die zo groot zijn, of zo dicht bij nul liggen, dat de gewone decimale schrijfwijze onpraktisch wordt door het grote aantal nullen. De wetenschappelijke notatie lost dit op door de komma te verschuiven: het getal wordt geschreven als product van enerzijds een getal tussen 1 en 10 (eventueel voorafgegaan door een minteken) met anderzijds een positieve of een negatieve macht van 10.

Het gebruik van voorvoegsels zoals kilo en centi is een variant op de wetenschappelijke notatie die teruggaat tot de begindagen van het metrieke stelsel.

De eerder opgesomde getalverzamelingen zijn oneindig; om ieder willekeurig getal exact te kunnen opslaan, zou het geheugen van een computer dus oneindig groot moeten zijn. Daarom worden een aantal eindige deelverzamelingen gehanteerd die een compromis zijn tussen praktische bruikbaarheid en benodigde geheugenruimte. In het algemeen vallen twee klassen van voorstellingen te onderscheiden: voorstellingen met vaste komma, waarvan de gehele voorstellingen een belangrijke deelklasse vormen, en voorstellingen met zwevende komma, een binaire variant van de wetenschappelijke notatie. Binnen de twee klassen wordt dan nog onderscheid gemaakt naargelang van de hoeveelheid beschikbaar geheugen, de zogenaamde precisie. Voor zwevendekommagetallen bestaat de internationale standaard IEEE 754.