e (wiskunde)

Het getal ${\displaystyle e}$ is het grondtal voor de exponentiële functie (${\displaystyle e}$-macht) ${\displaystyle e^{x}}$, ook geschreven als ${\displaystyle \exp(x)}$. De natuurlijke logaritme ${\displaystyle \ln(x)}$ is de inverse van de exponentiële functie:

${\displaystyle y=e^{x}\Leftrightarrow x=\ln(y)}$

De exponentiële functie ${\displaystyle e^{x}}$ is gelijk aan haar afgeleide:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}e^{x}=e^{x}}$

De Taylorreeks van de e-macht is:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Daaruit kan door de substitutie ${\displaystyle x=1}$ de volgende reeks voor ${\displaystyle e}$ gevonden worden:

${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Ter vergelijking staan hieronder de eerste 20 termen uit de definiërende rij en de eerste 20 partiële sommen van de bovenstaande reeks.

Een benadering via de definiërende rij vergt ${\displaystyle n}$ vermenigvuldigingen. Via de benaderende reeks moeten ${\displaystyle n}$ termen opgeteld worden, en voor elke volgende term is een vermenigvuldiging en een deling nodig, dus in totaal ${\displaystyle n}$ vermenigvuldigingen en ${\displaystyle n}$ delingen. Voor de nauwkeurigheid moet dus de rij voor ${\displaystyle 2n}$ vergeleken worden met de reeks voor ${\displaystyle n}$n. Toch zal de benadering via de reeks bij eenzelfde 'nauwkeurigheid' (verschil tussen opeenvolgende termen in de lijst) minder bewerkingen nodig hebben in vergelijking met de rij. Bij ${\displaystyle n=1000\,000\,000}$ 'doet' bijvoorbeeld de rij het nog altijd 'slechter' dan de reeks bij ${\displaystyle n=12}$.

Het getal ${\displaystyle e}$ is irrationaal (voor het eerst bewezen door Johann Heinrich Lambert in 1761 en later ook door Euler) en transcendent (in 1873 bewezen door Charles Hermite).

${\displaystyle e}$ is een van de belangrijkste constanten in de wiskunde. Op iedere hoek van de wiskundige wereld komt men ${\displaystyle e}$ tegen bv. in de formule van Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$

De identiteit van Euler, een speciaal geval hiervan waarbij een verband tussen de vijf belangrijkste wiskundige constanten gelegd wordt, is door Richard Feynman 'de opmerkelijkste formule in de wiskunde' genoemd (Lectures on Physics, p.I-22-10):

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Hoewel Georg Cantor bewees dat er oneindig meer transcendente getallen (door sommige wiskundigen de donkere materie van de wiskunde genoemd) zijn dan andere soorten zoals de natuurlijke getallen is e een van de weinige getallen waarvan de transcendentie bewezen is. Twee andere zijn ${\displaystyle \pi }$ en de constante van Liouville met symbool ${\displaystyle L}$. Men weet echter nog steeds niet of met ${\displaystyle e\times \pi }$, ${\displaystyle e+\pi }$ en met andere elementaire bewerkingen een nieuw transcendent getal tevoorschijn komt. Een van de weinige gevallen is ${\displaystyle e^{\pi }}$, de Constante van Gelfond, waarvan de transcendentie bewezen is.

Door bestudering van ${\displaystyle e}$ wist Alan Baker van Cambridge echter wel nieuwe klassen van transcendente getallen te vinden waarvoor hij in 1970 de Fields-medaille kreeg. Vanaf de jaren 1990 tot heden is er grote vooruitgang geboekt met de studie van ${\displaystyle e}$ voor de theorievorming over transcendente getallen door o.a. Boris Zilber (Oxford) en Alain Connes die eveneens de Fieldmedal kreeg voor zijn ontdekkingen.

• Logaritme
• Natuurlijke logaritme
• Briggse logaritme
• Henry Briggs
• John Napier
• Adriaen Vlacq

• e op Mathworld

1. A001113 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen. Geraadpleegd op 14 augustus 2019.