Kettingregel
De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.
Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is:
- ,
of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt:
Formalisering
Laat en open intervallen zijn en en functies met . Als differentieerbaar is in het punt en differentieerbaar in het punt , dan is de samenstelling differentieerbaart in , en er geldt:
Schets van een bewijs
Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat
zodat in het bewijs door 0 gedeeld zou worden.
Toepassing
Voorbeelden
De functie
is de samenstelling van de functies
en
De afgeleide van kan bepaald worden met de kettingregel:
De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:
Deze functie is een "ketting"
van de functies:
De afgeleiden van deze functies zijn:
De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:
dus:
en na invulling
Inverse functie
Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie en z'n inverse .
Er geldt immers: , zodat volgens de kettingregel:
- ,
zodat
- .
- Toepassing
De afgeleide van de boogsinus:
Reciproque
Met de kettingregel kan ook de afgeleide bepaald worden van de reciproque van een functie . Er geldt immers: , met , zodat volgens de kettingregel:
Meer dan één veranderlijke
Stel dat de samenstelling is van de vectorwaardige functies en in meer dan één veranderlijke. Bijvoorbeeld
Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies en in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:
De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval ook differentieerbaar is in , en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van en
Als de betrokken lineaire afbeeldingen opgevat worden als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van gelijk aan het product van de matrices van en . Uitdrukkelijk:
Bijvoorbeeld voor :
Met aanvullend geeft dit:
Als (met argumenten ) dan
Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.