Exponentiële functie

De term exponentiële functie wordt gebruikt voor elke functie van de vorm ${\displaystyle ka^{x}}$, waarin ${\displaystyle a}$ een positief reëel getal is, of, hiermee gelijkwaardig, elke functie van de vorm ${\displaystyle ke^{bx}}$ waarin ${\displaystyle b}$ een reëel getal is. De variabele ${\displaystyle x}$ kan elk reëel of complex getal zijn, of kan zelfs een geheel ander wiskundig object zijn. Bij ${\displaystyle k=1}$ spreekt men wel van de antilogaritme.

Voor reële ${\displaystyle x}$ onderscheidt men:

${\displaystyle a>1\quad (b>0)}$: exponentiële groei

${\displaystyle a=1\quad (b=0)}$: constante functie

${\displaystyle 0<a<1\quad (b<0)}$: exponentiële afname

De exponentiële functie ${\displaystyle y=ke^{bx}}$, en dus ook ${\displaystyle y=ka^{x}}$, wordt geheel bepaald door de beginwaarde ${\displaystyle y_{0}=k}$ voor ${\displaystyle x=0}$ en de waarde ${\displaystyle y_{1}=y_{0}e^{bx_{1}}}$in een ander punt ${\displaystyle x=x_{1}}$.

Bij toepassingen zijn ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ in veel gevallen grootheden die uitgedrukt worden in een getal en een eenheid. Schrijft men: voor de functie:

${\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}=e^{x/\alpha },}$

dan zijn ${\displaystyle y/y_{0}}$ en ${\displaystyle x/\alpha }$ dimensieloze grootheden. De functie beschrijft een grootheid ${\displaystyle y}$ met beginwaarde ${\displaystyle y_{0}}$, die met een factor ${\displaystyle e}$ toeneemt als de grootheid ${\displaystyle x}$ met een bedrag ${\displaystyle \alpha }$ toeneemt van ${\displaystyle x}$ tot ${\displaystyle x+\alpha }$.

De exponentiële functie kan op verschillende wijzen formeel gedefinieerd worden. Enkele gangbare definities zijn:

• als een oneindige reeks (de Maclaurin-reeks van ${\displaystyle e^{x}}$):

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

• als de limiet van een rij:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}}$

• als unieke oplossing van het beginwaardeprobleem

${\displaystyle f'(x)=f(x)\!\quad ,\quad f(0)=1}$

De exponentiële functie is altijd positief (groter dan nul) en neemt toe met groter wordende x. De grafiek van de functie raakt de x-as echter niet, hoewel hij er willekeurig dicht toe kan naderen. De exponentiële functie is de inverse van de natuurlijke logaritme, ${\displaystyle \ln(x),}$ die gedefinieerd is voor alle positieve waarden van ${\displaystyle x.}$

De exponentiële functie is ook als machtreeks gedefinieerd voor complexe getallen

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Net als voor reële getallen geldt voor twee complexe getallen ${\displaystyle v,w\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{v}e^{w}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {v^{k}}{k!}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {w^{m}}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k+m=n}{\frac {n!}{k!m!}}v^{k}w^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(v+w)^{n}}{n!}}=e^{v+w}}$

Voor ${\displaystyle z=x+iy}$ met ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ is dus:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}}$

en omdat de reeksen absoluut convergeren:

${\displaystyle e^{iy}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iy)^{n}}{n!}}=\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-{\frac {y^{7}}{7!}}+\ldots \right)=\cos y+i\sin y}$

Dit is de formule van Euler.

Dus:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$

Een voorbeeld van een exponentiële functie is iets waarvan de waarde bij iedere stap verdubbelt. Bij het begin is de waarde dus 1, na de eerste stap is deze 2, na de tweede 4, na de derde 8, na de vierde 16, en na de vijfde 32. De functiewaarde groeit anders gezegd veel sneller dan het argument. Deze functies beschrijven wat er gebeurt bij een exponentiële groei.

Bacteriegroei is een typisch voorbeeld van een verschijnsel dat zich exponentieel ontwikkelt.

Als het grondtal tussen 0 en 1 ligt, daalt de functie, en als het grondtal groter is dan 1, stijgt de functie. De afgeleide van een exponentiële functie is ook een exponentiële functie met hetzelfde grondtal maal de natuurlijke logaritme van het grondtal.

De formele definitie van een exponentiële functie is:

${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}}$

Deze is gedefinieerd voor alle waarden van ${\displaystyle a>0,}$ en alle reële getallen ${\displaystyle x.}$ Deze functie wordt de exponentiële functie met basis of grondtal ${\displaystyle a}$ genoemd.

Exponentiële functies geven een vertaling tussen optellen en vermenigvuldigen, zoals naar voren komt in de volgende exponentiële wetten:

${\displaystyle a^{0}=1}$

${\displaystyle a^{1}=a}$

${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y}}$

${\displaystyle a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}}$

${\displaystyle {1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}}$

${\displaystyle a^{x}b^{x}=(ab)^{x}}$

Deze relaties zijn geldig voor alle positieve reële getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ en alle reële getallen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y.}$ Uitdrukkingen met breuken en wortels kunnen vaak worden vereenvoudigd met de exponentiële notatie, omdat

${\displaystyle {1 \over a}=a^{-1}}$

en voor elke ${\displaystyle a>0,}$ reëel getal ${\displaystyle b}$ en geheel getal ${\displaystyle n>1:}$ geldt:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}}$

Antilogaritmen zijn de inversen van logaritmen. Als ${\displaystyle y}$ de logaritme met grondtal ${\displaystyle g}$ is van ${\displaystyle x,}$ dan is ${\displaystyle x}$ de antilogaritme met grondtal ${\displaystyle g}$ van ${\displaystyle y.}$

In termen van functies wordt dus onder de antilogaritme van de functie ${\displaystyle y=\log _{g}x}$ de functie ${\displaystyle x=g^{y}}$ (of na spiegeling in de lijn ${\displaystyle y=x}$, de functie ${\displaystyle y=g^{x}}$ verstaan.

Deze inverse functie van de logaritme is de exponentiële functie met grondtal ${\displaystyle g.}$

Het gebruik van het woord antilogaritme heeft te maken met de vraag welke functies als elementairder worden beschouwd. In het middelbare-schoolonderwijs worden logaritmen na machten met grondtal en exponent behandeld.

De logaritme ${\displaystyle y=\log _{g}x}$ wordt dan gedefinieerd als de exponent van het grondtal ${\displaystyle g}$ die bij ${\displaystyle x}$ hoort: ${\displaystyle x=g^{y}}$. Daarbij gaan exponentiële functies dus vooraf aan logaritmen. Deze behandelwijze gaat er echter stilzwijgend van uit dat de macht ${\displaystyle g^{y}}$ ook gedefinieerd is voor irrationale exponenten ${\displaystyle y.}$

In de hogere wiskunde, waar een axiomatische opbouw van de elementaire functies wordt gehanteerd, wordt de exponentiële functie vaak gedefinieerd nadat de natuurlijke logaritme is gedefinieerd als de integraal ${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t}$. Via de inverse functie van de natuurlijke logaritme, dus ${\displaystyle e^{x}}$, wordt dan de macht voor elke reële exponent ${\displaystyle y}$ geïntroduceerd: ${\displaystyle g^{y}=\exp \left(y\ln g\right)}$. Bij deze voortgang vat men logaritmen als elementairder zijnde op dan exponentiële functies. Het woord antilogaritme, in de betekenis van inverse van de logaritme, is in deze voortgang toepasselijk.

Zie de categorie Exponential functions van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.