Secans en cosecans

De secans (Latijn voor de snijdende) en cosecans zijn twee verwante goniometrische functies. Ze worden aangeduid met respectievelijk sec en csc (ook wel cosec).

In een eenheidscirkel geeft de in het lichtblauw aangeduide lengte de secans aan van hoek θ.

Secans

Van een scherpe hoek $\alpha$ in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

\sec(\alpha )={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{aanliggende zijde}}}

De secans van een scherpe hoek $\alpha$ in een rechthoekige driehoek is dus de reciproke van de cosinus van deze hoek:

\sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}

Uit de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras kan de volgende relatie met de tangens afgeleid worden:

\tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)

Machtreeks

De secans kan ontwikkeld worden in de volgende machtreeks voor $|x|<\pi /2$ :

\sec(x)=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}

Daarin is $E_{n}$ een Eulergetal.

Cosecans

Van een scherpe hoek $\alpha$ in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek:

\csc(\alpha )=\sec(90^{\circ }-\alpha )

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek is:

\csc(\alpha )={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{overstaande zijde}}}

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek:

\csc(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}

Uit de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras kan de volgende relatie met de cotangens afgeleid worden:

\cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)

Machtreeks

De cosecans kan ontwikkeld worden in de volgende machtreeks voor $0<|x|<\pi /2$ :

\csc(x)={\frac {1}{x}}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}

Daarin is $B_{n}$ het $n$ -de Bernoulligetal.

Zie ook

Goniometrische functie

Wiskundige functies

Basisfuncties:	optellen · aftrekken · vermenigvuldigen · delen · machtsverheffen · worteltrekken
Logaritme:	logaritme · natuurlijke logaritme · exponentiële functie
Trigonometrie:	sinus en cosinus · tangens en cotangens · secans en cosecans
Inverse functies:	arcsinus · arccosinus · arctangens · arccotangens · arcsecans · arccosecans
Overig:	hyperbolische functies

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.