Criterium van Eisenstein

Laat

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

een polynoom zijn met gehele coëfficienten.

Veronderstel dat er een priemgetal ${\displaystyle p}$ is, zodanig dat

• ${\displaystyle p}$ geen deler is van ${\displaystyle a_{n}}$
• ${\displaystyle p}$ wel deler is van alle andere coëfficienten ${\displaystyle a_{i}\ (i<n)}$
• ${\displaystyle p^{2}}$ geen deler is van ${\displaystyle a_{0}}$,

dan is ${\displaystyle f(x)}$ over de rationale getallen irreducibel.

De polynoom ${\displaystyle 3x^{3}+5x^{2}+15x+10}$ is irreducibel, want het priemgetal 5 is deler van de coëfficiënten 5, 15 en 10, maar geen deler van 3 en ook is 25 geen deler van 10.

Als ${\displaystyle p}$ een priemgetal is, dan is

${\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1}$

irreducibel.[1] Het bewijs gaat als volgt

${\displaystyle x^{p}-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1)}$

Na de substitutie van ${\displaystyle x=y+1}$ is deze vergelijking te schrijven met binomiaalcoëfficiënten als:

${\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}={\frac {(y+1)^{p}-1}{y}}=y^{p-1}+\sum _{j=1}^{p-1}{\binom {p}{j}}y^{j-1}}$.

Hieruit blijkt dat ${\displaystyle p}$ geen deler is van de coëfficiënt 1 van de hoogste macht van ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle p}$ wel deler is van alle andere coëfficiënten, maar ${\displaystyle p^{2}}$ geen deler is van de constante term ${\displaystyle p}$. Uit het criterium van Eisenstein volgt nu dat de polynoom in ${\displaystyle y}$ irreducibel is, dus is ook de oorspronkelijke polynoom in ${\displaystyle x}$ irreducibel.

Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein D, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam F van D en p door een priemelement in D, dan geldt het criterium ook.

Het criterium is naar Ferdinand Eisenstein genoemd. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd,[2] maar werd daarna ook door Eisenstein gebruikt.[3] Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in Z[i], niet Z. Vaak wordt Eisenstein verward met Einstein.

• (en) MathWorld. "Eisenstein's Irreducibility Criterion".

Journal für die reine und angewandte Mathematik wordt afgekort tot Crelle's Journal.