Commutatieve ring

In de ringtheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een commutatieve ring een ring, waarin de bewerking , die overeenkomt met de vermenigvuldig, commutatief is. Dit houdt in dat als a en b willekeurige elementen van de ring zijn dat dan ab = ba geldt. De studie van commutatieve ringen wordt de commutatieve algebra genoemd.

Merk op dat een commutatieve ring voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen:
lichamen (Nederlands) of velden (Belgisch) ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen

Definitie

Een ring is een verzameling R die is uitgerust met twee binaire operaties, dat wil zeggen bewerkingen, die een willekeurige combinatie van twee elementen van de ring tot een derde element combineren. De twee bewerkingen worden optellen en vermenigvuldigen genoemd en worden vaak aangeduid met "+" en "⋅", bijvoorbeeld a + b en a ⋅ b. Om een ring te vormen moeten deze twee operaties voldoen aan een aantal eigenschappen: de ring moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn, zodanig dat de vermenigvuldiging en de optelling distributief zijn, dat wil zeggen

a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c).

De neutrale elementen voor optellen en vermenigvuldigen worden respectievelijk aangeduid door 0 en 1. Wanneer bovendien ook de vermenigvuldiging commutatief is, dat wil zeggen

a ⋅ b = b ⋅ a,

dan wordt de ring R commutatief genoemd.

Voorbeelden

Het belangrijkste voorbeeld van een commutatieve ring zijn de gehele getallen met de twee operaties van optellen en vermenigvuldigen. De gewone vermenigvuldiging van getallen is commutatief. Deze ring wordt in de literatuur meestal aangeduid met Z, van het Duitse woord Zahlen voor getallen.
De rationale-, reële- en complexe getallen vormen commutatieve ringen, maar zijn in feite ook Belgisch: velden of Nederlands: lichamen
Meer in het algemeen geldt dat elk veld een commutatieve ring is, de klasse van velden is dus een deelverzameling van de verzameling van commutatieve ringen.
Een voorbeeld van een niet-commutatieve ring is de verzameling van alle 2-door-2 matrices, waarvan de ingevoerde waarden gehele getallen zijn.

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}

is niet gelijk aan de vermenigvuldiging die in tegengestelde volgorde wordt uitgevoerd:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

Waarvoor de matrixvermenigvuldiging nodig is.

Deze matrices zijn ook geen integriteitsdomein:

{\begin{bmatrix}1&2\\-3&-6\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\ 6&-8\\-3&\ 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}.

Matrices die kunnen worden gediagonaliseerd met dezelfde gelijksoortige matrix vormen een commutatieve ring.

Als R een gegeven commutatieve ring is, dan is de verzameling van alle polynomen in de variabele X, waarvan de coëfficiënten in R liggen, een polynoomring, aangeduid met R[X].

Als V enige topologische ruimte is, bijvoorbeeld een deelverzameling van enige Rⁿ, vormen de reëel-of-complex gewaardeerde continue functies op V een commutatieve ring. Hetzelfde geldt voor differentieerbare of holomorfe functies, indien deze twee begrippen zijn gedefinieerd, zoals wanneer V een complexe variëteit is.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.