Chebyshev-polynoom

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}$

De eerste vijf Chebyshev-polynomen

voor ${\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots }$

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

${\displaystyle (1-x^{2}){{\rm {d}}^{2}y \over {\rm {d}}x^{2}}-x{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}+n^{2}y=0}$,

die overigens door de substitutie

${\displaystyle {\tilde {y}}(\theta )=y(\cos(\theta ))}$

vereenvoudigt tot:

${\displaystyle {\tilde {y}}''+n^{2}{\tilde {y}}=0}$,

waaruit eenvoudig te zien is dat

${\displaystyle {\tilde {y}}(\theta )=\cos(n\theta ))}$

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

${\displaystyle T_{0}(x)=1}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x}$

${\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x}$

${\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1}$

${\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x}$