Symmetrische functies van een polynoom

De symmetrische functies van een polynoom ${\displaystyle f}$ zijn de coëfficiënten van ${\displaystyle f}$, uitgedrukt in de nulpunten van ${\displaystyle f}$. De coëfficiënt van de hoogste macht van ${\displaystyle x}$ wordt 1 gekozen.

Zij

${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}}$

een polynoom van de graad ${\displaystyle n}$ in de variabele ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle f(x)}$ is te schrijven als het product van de ${\displaystyle n}$ factoren van de vorm ${\displaystyle x-x_{i}}$, waarin de ${\displaystyle x_{i}}$ de nulpunten zijn van ${\displaystyle f}$. De nulpunten hoeven niet reëel te zijn.

${\displaystyle f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$

De ${\displaystyle n}$ symmetrische functies behorend bij ${\displaystyle f}$ zijn de coëfficiënten ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ uitgedrukt in de nulpunten ${\displaystyle x_{i}}$.

${\displaystyle a_{1}=-1(x_{1}+\ldots +x_{n})}$ ,

${\displaystyle a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n}=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}}$ ,

verder

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{i}(x_{1}x_{2}\cdots x_{k}+x_{1}x_{2}\cdots x_{k-1}x_{k+1}+\ldots +x_{n+1-k}\cdots x_{n-1}x_{n})=(-1)^{i}\sum _{i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}}$

tot en met

${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\cdot x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}$ .