Diofantische vergelijking

In de diofantische analyse stelt men over diofantische vergelijkingen vragen als:

1. Bestaan er oplossingen?
2. Bestaan er oplossingen die niet gemakkelijk door onderzoek gevonden kunnen worden?
3. Bestaat er een eindig of een oneindig aantal oplossingen?
4. Kunnen in theorie alle oplossingen worden gevonden?
5. Kan men in de praktijk een volledige lijst van oplossingen berekenen?

Deze traditionele problemen zijn vaak eeuwenlang onopgelost gebleven. Pas geleidelijk aan zijn wiskundigen de diepte van sommige van deze vragen gaan begrijpen. De neiging om deze vragen als puzzels te behandelen is minder geworden.

Brahmagupta

India's bijdrage aan integrale oplossingen van diofantische vergelijkingen kan men terugvinden in de Sulba Sutra, teksten die door Indiase wiskundigen tussen 800 v.Chr. en 500 v.Chr geschreven zijn. Baudhayana, rond 800 v.Chr., vond twee verzamelingen van positieve integrale oplossingen voor een verzameling van simultane diofantische vergelijkingen, en poogde ook simultane diofantische vergelijkingen met tot vier onbekenden op te lossen. Apastamba, rond 600 v.Chr, probeerde simultane diofantische vergelijkingen met tot vijf onbekenden op te lossen.

Diofantische vergelijkingen werden later in het middeleeuwse India uitgebreid bestudeerd door wiskundigen, die de eersten waren die systematisch naar methoden zochten om de integrale oplossingen van diofantische vergelijkingen te bepalen. Systematische methoden voor het vinden van geheeltallige oplossingen van diofantische vergelijkingen kunnen vanaf de tijd van Aryabhata, rond 499 n.Chr, in Indiase wiskundige teksten worden gevonden. De eerste expliciete beschrijving van de algemene integrale oplossing van de lineaire diofantische vergelijking ay + bx = c komt men in zijn tekst, de Aryabhatiya, tegen. Dit algoritme wordt beschouwd als een van de belangrijkste bijdragen van Aryabhata aan de zuivere wiskunde. De techniek werd door Aryabhata toegepast om integrale oplossingen van simultane diofantische vergelijkingen van de eerste orde te vinden, een probleem met belangrijke toepassingen in de astronomie.

Aryabhata beschreef het algoritme in slechts twee strofen van zijn Aryabhatiya. Zijn cryptische verzen werden in de 6e eeuw door Bhaskara I in zijn commentaar Aryabhatiya Bhasya uitgewerkt. Bhaskara I illustreerde de regel van Aryabhata met diverse voorbeelden, waaronder 24 concrete problemen uit de astronomie. Zonder de uitleg van Bhaskara I zou het moeilijk zijn geweest om Aryabhata's verzen juist te interpreteren. Bhaskara I noemde de methode treffend kuttaka: verpulvering. Het idee van de kuttaka werd later door de Indiase wiskundigen in eerste instantie zo belangrijk geacht dat zij hele onderwerp van de algebra aanvankelijk kuttaka-ganita, of simpelweg kuttaka noemden.

Brahmagupta, in 628, behandelde moeilijkere diofantische vergelijkingen. Hij onderzocht de vergelijking van Pell. In zijn Samasabhavana legde hij een procedure uit om diofantische vergelijkingen van de tweede orde, zoals 61x² + 1 = y² op te lossen. Deze methoden waren op dat moment in het westen onbekend. Deze zelfde vergelijking werd in 1657 door de Franse wiskundige Pierre de Fermat als een probleem gesteld, de oplossing werd zeventig jaar later door Leonhard Euler gevonden. In India was de oplossing van deze vergelijking echter al eeuwen eerder door Bhāskara II gevonden, rond 1150. Dezelfde wiskundige vond ook de oplossing voor de vergelijking van Pell. Hierbij maakte hij gebruik van een aangepaste versie van de methode van Brahmagupta.

Pierre de Fermat

In 1637 krabbelde Pierre de Fermat in de marge van zijn exemplaar van de Arithmetica de opmerking dat de vergelijking ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ geen oplossingen heeft voor enige n groter dan twee. Hij schreef daarbij: Hiervoor heb ik een werkelijk schitterend bewijs, de marge van deze bladzijde is echter niet groot genoeg om dit bewijs te bevatten. Een dergelijk bewijs ontging wiskundigen echter eeuwenlang. Als een onbewezen vermoeden werd de stelling bekend als de laatste stelling van Fermat. Pas in 1994 wist de Britse wiskundige Andrew Wiles deze laatste stelling van Fermat te bewijzen.

In 1657 probeerde Fermat de diofantische vergelijking ${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$, die reeds meer dan 1000 jaar eerder door Brahmagupta was opgelost, op te lossen. De vergelijking werd in het begin van de 18e eeuw door Leonhard Euler opgelost. Deze Zwitserse wiskundige slaagde er ook in een aantal andere diofantische vergelijkingen op te lossen.

Joeri Matijasevitsj in 1969

In erkenning van hun diepte, classificeerde David Hilbert de oplosbaarheid van alle diofantische problemen als het tiende van zijn 23 problemen. Dit tiende probleem van Hilbert werd in 1970 opgelost. De stelling van Matijasevitsj, een nieuw resultaat in wiskundige logica, toonde aan dat een diofantische vergelijking geen algemene oplossing heeft.

Het standpunt van Diofantische meetkunde, dat wil zeggen de toepassing van technieken uit de algebraïsche meetkunde op dit gebied, is als gevolg hiervan blijven groeien; aangezien de behandeling van willekeurige vergelijkingen een doodlopende weg is, wendde de aandacht zich op vergelijkingen, die ook een meetkundige betekenis hebben. De centrale gedachte van diofantische meetkunde is die van een rationeel punt, namelijk een oplossing voor een veeltermvergelijking of een stelsel van lineaire vergelijkingen, een vector in een voorgeschreven lichaam K, waar K niet algebraïsch gesloten is.

Een van de weinige algemene benaderingen is door middel van het principe van Hasse. De traditionele methode, die van de oneindige afdaling, heeft echter een lange weg afgelegd en is volledig uitgenut.

De diepte van de studie van de algemene diofantische vergelijkingen blijkt wel uit de karakterisering van diofantische verzamelingen als recursief aftelbaar. Het algemene probleem van de diofantische analyse is in andere woorden universeel, dit houdt in, dat algemene diofantische vergelijkingen niet kunnen worden opgelost door het probleem opnieuw te formuleren in andere termen.

Het onderwerp van de diofantische benadering gaat over gevallen van diofantische ongelijkheden. Hier worden de variabelen nog steeds geacht geheel te zijn, maar mogen sommige coëfficiënten irrationale getallen zijn en wordt het gelijkheidsteken vervangen door de boven- en ondergrenzen.

De meest gevierde vraag in het veld, het vermoeden dat bekendstond als de laatste stelling van Fermat, werd in 1994 bewezen door Andrew Wiles.[1] Wiles maakte hierbij geen gebruik van instrumenten uit de getaltheorie, binnen welk deelgebied van de wiskunde het vermoeden oorspronkelijk werd geformuleerd, maar hij benutte integendeel een heel scala van instrumenten uit de analyse, die bijna alle pas in de afgelopen eeuw waren ontwikkeld. Andere belangrijke resultaten, zoals de stelling van Faltings, hebben oude vermoedens uit de weg geruimd.