Lagrange-polynoom

Lagrange-polynomen worden in de numerieke analyse gebruikt om van een onbekende functie waarvan slechts in een eindig aantal punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ de functiewaarde bekend is, de waarde in tussengelegen punten te benaderen. Hierbij wordt een lineaire combinatie van polynomen gebruikt, de lagrange-polynomen. Deze polynomen horen bij de punten $x_{i}$ , en wel zo dat het $i$ -de polynoom $\ell _{i}$ de waarde 1 heeft in het punt $x_{i}$ en de waarde 0 in de overige punten. De coëfficiënten van de lineaire combinatie zijn dan juist de bekende functiewaarden in de betreffende punten. De functiewaarde van de lineaire combinatie in een tussengelegen punt $x$ , is een benadering van de onbekende functiewaarde in $x$ .

De lagrange-polynomen zijn genoemd naar Joseph-Louis Lagrange, maar werden voor het eerst beschreven in 1779 door Edward Waring, en herontdekt in 1783 door Leonhard Euler.

Definitie

De lagrange-polynomen die horen bij de $n+1$ punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ zijn de $n+1$ polynomen $\ell _{i}$ van de graad $n$ , gedefinieerd door

\ell _{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.

Eigenschappen

Eenvoudig is te zien dat voor de lagrange-polynoom $\ell _{i}$ geldt:

\ell _{i}(x_{i})=1

en

\ell _{i}(x_{k})=0,{\text{voor }}k\neq i.

De lagrange-polynoom $\ell _{i}$ is de unieke $n$ -de-graadspolynoom die voldoet aan de bovenstaande eigenschap, d.w.z.

\ell _{i}(x)=\sum _{k=0}^{n}\lambda _{jk}x^{k}

is de unieke oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen

\sum _{k=0}^{n}\lambda _{jk}x_{i}^{k}=\delta _{ij}

waarbij $\delta _{ij}$ het symbool is voor de Kronecker-delta.

Toepassing

Als van de functie $f$ de functiewaarde in de $n+1$ punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ bekend is, kan $f$ benaderd worden door $n$ -de-graadspolynoom

P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\ell _{i}(x).

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.