Rekenen

Het gebruik van een Grieks kruis (het teken +) voor de optelling dateert uit de vijftiende eeuw. Het is waarschijnlijk een vervormde letter t als afkorting van het Latijnse voegwoord et ("en"). Ook het minteken verschijnt vanaf die tijd. Het Andreaskruis × voor de vermenigvuldiging verscheen voor het eerst in het Liber Abaci van Fibonacci.[2] De dubbelepunt was al een symbool voor verhoudingen toen Gottfried Wilhelm Leibniz het in 1684 begon te gebruiken voor de deling. In de Engelstalige wereld gebruikt men als deelteken vaker de obelus, een dubbelepunt met een horizontaal streepje tussen de punten.

Voor Leibniz werden delingen altijd naar Arabische traditie met een horizontale breukstreep geschreven, een praktijk die Fibonacci in Europa introduceerde. Het gebruik van superscript voor de machtsverheffing is afkomstig van René Descartes.[2]

Zie Bewerkingsvolgorde voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Omdat bij het rekenen in veel gevallen een combinatie van bewerkingen voorkomt, zijn er regels voor de volgorde waarin de bewerkingen worden uitgevoerd. Deze volgorde kan met haakjes worden aangegeven. Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd. Wanneer er meerdere operaties achtereenvolgens worden uitgevoerd, is de internationale regel:

• eerst machtsverheffen en worteltrekken
• dan vermenigvuldigen en delen
• ten slotte optellen en aftrekken

Inverse bewerkingen worden hierbij als onderling gelijkwaardig beschouwd.

Op de basisschool in Nederland werd vroeger de regel Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord (Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en Aftrekken) geleerd (of Mijn Vader Draait Worsten Op Aarde of Men Vaart De Waal Op en Af), tegenwoordig wordt echter meestal de internationale regel gebruikt. Een nieuw ezelsbruggetje is: Het Mooie Witte Veulentje Draaft Op en Af (Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken). Of: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen, of Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland

De berekening van 12 − 2×5 behoort met toepassing van de regels geen probleem te zijn:

12 − 2×5 = 12 − 10 = 2

De berekening van 5 − 3 = 2 is gemakkelijk. Moeilijker wordt het bij 5 − (−3). Hier geldt de regel "min keer min is plus", dus

5 − (−3) = 5 + 3 = 8.

Maar de vroeger gebruikte voorrangsregels zoals ze hierboven staan, leiden af van de essentie. Het kan korter en duidelijker. De kortere formulering is: Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts en daarna optellen en aftrekken van links naar rechts.

In een klas na de basisschool die aan het rekenen is, wordt vaak de vraag een keer opgeworpen: wat moet ik met die haakjes? En dan geeft een klasgenoot direct het antwoord: tussen haakjes éérst uitrekenen! Dat is zo voor de hand liggend dat er verder niet over gesproken hoeft te worden. Ook over worteltrekken en machtsverheffen hoeft dan niet te worden gesproken. Ook dat is duidelijk, ook dat moet eerst worden uitgerekend.

Tot slot moet vanwege de veranderde regels aandacht geschonken worden aan een opgave als: bereken 20 : 4 × 5

Volgens sommige van de regels hierboven, zoals Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland, is het duidelijk, eerst moet er vermenigvuldigd worden en daarna gedeeld. Dat levert als resultaat:

20 : 4 × 5 = 20 : 20 = 1

Dit is tegenwoordig fout. Het goede antwoord wordt verkregen door eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts toe te passen. Dat levert:

20 : 4 × 5 = 5 × 5 = 25

Volgens een ruwe schatting kent de helft van de Nederlanders geboren voor 1970 deze regel niet. Want vroeger werd op de lagere school geleerd dat vermenigvuldigen vóór delen ging. In de jaren tachtig van de twintigste eeuw zijn de meeste basisscholen overgegaan op methodes die vermenigvuldigen en delen dezelfde prioriteit geven (en dan van links naar rechts uit te rekenen), enigszins afhankelijk van wanneer er geld was om een nieuwe methode te kopen.

Het zou daarom goed zijn als in het onderwijs regels als Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland, verlaten zouden worden en zouden worden vervangen door:

Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts en daarna optellen en aftrekken van links naar rechts, eventueel voorafgegaan door Om te beginnen tussen haakjes uitrekenen, en dan ….

Ook een opgave als 5 − 3 + 1 = is met de "oude regels" niet goed uit te rekenen, want dat wordt 5 − 3 + 1 = 5 − 4 = 1 (het FOUTE antwoord). Met de nieuwe regels gaat het van links naar rechts: 5 − 3 + 1 = 2 + 1 = 3 (het GOEDE antwoord).

De bovengenoemde rekenoperaties worden in de ontwikkelde landen op de basisschool geleerd. Historisch gezien stond het rekenen aan de basis van de wiskunde. Nu kan het rekenen beschouwd worden als de tak van de wiskunde die de eigenschappen van bovengenoemde operaties op de natuurlijke en op de rationale getallen bestudeert.

Zie ook: Orde

Een rekenmachine (Pascaline) gesigneerd door Pascal in 1652. Musée des Arts et Métiers, Parijs Inventarisnummer 823-1

Reeds in de vroege oudheid (Sumerië, Egypte) gebruikte men telramen of abaci als mechanisch hulpmiddel bij het rekenen. Vanaf de 17de eeuw verschijnen ontwerpen voor rekenautomaten en gewoonlijk wordt Blaise Pascal erkend als uitvinder van de eerste bruikbare rekenmachine, de Pascaline.

In de loop van de 19de eeuw werden mechanische rekenmachines geperfectioneerd en gecommercialiseerd. In 1879 vond James Ritty het kasregister uit om handelstransacties sneller en betrouwbaarder te laten verlopen. Gaandeweg werden de mechanische onderdelen ook elektrisch aangedreven.

Het gebruik van elektrische schakelingen maakte snellere en ingewikkelder berekeningen mogelijk. Aanvankelijk waren de schakelaars relais, maar de betrouwbaarheid verhoogde aanzienlijk door het gebruik van elektronische schakelaars: vacuümbuizen en later transistoren. Hedendaagse elektronische rekenmachines gebruiken microchips die miljoenen transistoren bevatten.

De meeste digitale rekenmachines gebruiken het tweetallig stelsel voor de inwendige voorstelling van getallen, omdat de cijfers 0 en 1 makkelijk kunnen worden voorgesteld door de aan- of afwezigheid van een elektrische spanning of stroom. In een traditionele digitale rekenmachine bevindt de rekencapaciteit zich in de centrale verwerkingseenheid. Aanvankelijk konden microprocessoren op elementair niveau kleine gehele getallen optellen en aftrekken; andere bewerkingen en bewerkingen met grote getallen en kommagetallen moesten als software-subroutines geprogrammeerd worden. Hedendaagse microprocessoren hebben gespecialiseerde hardware (zie floating-point unit) om in één stap of in een klein aantal stappen complexe berekeningen meteen uit te voeren.

De numerieke wiskunde bestudeert problemen en technieken in verband met berekeningen van continue grootheden. Hoewel ouder dan computers, heeft deze tak van de wiskunde een hoge vlucht gekend sinds de opkomst van elektronische en programmeerbare rekenmachines.

De manier waarop digitale rekenmachines met kommagetallen rekenen, en in het bijzonder ook hoe ze met afrondingsfouten omgaan, is het voorwerp van internationale standaarden zoals IEEE 754.

• Functioneel rekenen
• Getal
• Grootste gemene deler, Kleinste gemene veelvoud
• Hoofdrekenen
• Hoofdstelling van de rekenkunde
• Procent, Promille
• Realistisch rekenen

Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Rekenen.

Zie de categorie Rekenen van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.