Laguerre-polynoom

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

${\displaystyle \,(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,}$

en

${\displaystyle \,xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,}$

Laguerre-polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar met betrekking tot het volgende inproduct:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)\,z^{n+1}}}\;dz}$

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

${\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0}$

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}$

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}$

• Chebyshev-polynoom
• Hermite-polynoom
• Lagrange-polynoom
• Legendre-polynoom
• Wilkinson-polynoom

• (en) Laguerre polynomen op PlanetMath
• (en) Laguerre polynomen op MathWorld