Jones-veelterm

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

t^{1/2}

Type I Reidemeister-beweging.

met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.

Definitie door middel van brackets

Stel wij hebben een georiënteerde schakel $L$ , die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, $V(L)$ definiëren door gebruik te maken van de Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met $\langle ~\rangle$ . Besef dat de bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele $A$ is met geheeltallige coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekendstaat als de veralgemeende polynoom)

X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle

,

waar $w(L)$ de kronkeling van $L$ in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen ( $L_{+}$ in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen ( $L_{-}$ ). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Link met Chern-Simons-theorie

Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop γ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep SU(2) te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop W_F(γ) te berekenen, geassocieerd met γ, en de fundamentele representatie F van SU(2).

Bronnen

(en) Vaughan Jones, Universiteit van Californië - Berkeley. "The Jones Polynomial" (pdf), 18 augustus 2005.
(en) MathWorld, Jones Polynomial.
(en) Morwen Thistlethwaite, Universiteit van Tennessee. "Links with trivial Jones Polynomial" (pdf).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.