Karakteristieke polynoom

Voor een n×n-matrix A is de karakteristieke polynoom ${\displaystyle P_{A}}$, gedefinieerd door:

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I_{n})}$

Hierin staat 'det' voor de determinant en ${\displaystyle I_{n}}$ voor de n×n-eenheidsmatrix. Het is dus de determinant van de matrix die ontstaat nadat van van elk van de elementen op de hoofddiagonaal van ${\displaystyle A}$ het getal ${\displaystyle \lambda }$ is afgetrokken. Zie ook het voorbeeld verderop in dit artikel.

Stelt men de karakteristieke polynoom gelijk aan 0, dan ontstaat de karakteristieke vergelijking:

${\displaystyle \det(A-\lambda I_{n})=0}$

Dit is een veeltermvergelijking van graad ${\displaystyle n}$ in de onbekende ${\displaystyle \lambda }$ waarvan de oplossingen de eigenwaarden van ${\displaystyle A}$ zijn.

In de eigenschappen hieronder is ${\displaystyle A}$ een n×n-matrix met karakteristieke polynoom ${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$.

• De nulpunten van ${\displaystyle P_{A}}$ zijn de eigenwaarden van ${\displaystyle A}$.
• De constante term in ${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$ is de determinant van ${\displaystyle A}$.
• De coëfficiënt van ${\displaystyle \lambda ^{n-1}}$ is het spoor van ${\displaystyle A}$, op het teken na indien ${\displaystyle n}$ even is.

De laatste twee eigenschappen laten toe ${\displaystyle P_{A}(\lambda )}$ voor een 2×2-matrix ${\displaystyle A}$ te schrijven als:

${\displaystyle \lambda ^{2}-{\rm {sp}}(A)\lambda +\det(A)}$

• Gelijkvormige matrices hebben dezelfde karakteristieke polynoom.
• De getransponeerde matrix heeft dezelfde karakteristieke polynoom als de matrix zelf.
• Stelling van Cayley-Hamilton: Een matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking; symbolisch: ${\displaystyle P_{A}(A)=0}$.

Beschouw de volgende 2×2-matrix ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}}}$

De karakteristieke polynoom is:

${\displaystyle P_{A}\left(\lambda \right)=\det \left({A-\lambda I_{n}}\right)={\begin{vmatrix}1-\lambda &4\\0&2-\lambda \end{vmatrix}}=\left({1-\lambda }\right)\left({2-\lambda }\right)-4\cdot 0=\lambda ^{2}-3\lambda +2}$

Uit de karakteristieke polynoom volgen nu direct de determinant (2) en het spoor (3) volgens de eerder gegeven eigenschappen.

De eigenwaarden zijn de nulpunten van de karakteristieke vergelijking:

${\displaystyle \lambda ^{2}-3\lambda +2=0\Leftrightarrow \left({1-\lambda }\right)\left({2-\lambda }\right)=0\Rightarrow \lambda =1\vee \lambda =2}$

De eigenwaarden van ${\displaystyle A}$ zijn dus 1 en 2.

${\displaystyle A}$ voldoet aan de karakteristieke vergelijking, want:

${\displaystyle P_{A}(A)=A^{2}-3A+2I={\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}}^{2}-3{\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&12\\0&4\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}3&12\\0&6\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}=0}$