Vijfdegraadsvergelijking

Sommige vijfdegraadsvergelijkingen kunnen worden opgelost door factorisering in radicalen. Zo kan de vergelijking

${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x+1=0}$

geschreven worden als

${\displaystyle (x^{2}+1)(x+1)(x-1)^{2}=0}$.

Andere vijfdegraadsvergelijkingen zoals

${\displaystyle x^{5}-x+1=0}$

kunnen niet op deze wijze worden opgelost. Évariste Galois ontwikkelde technieken om te bepalen wanneer een gegeven vergelijking kon worden opgelost door te factoriseren in radicalen. Vanuit deze technieken is na de dood van Galois de galoistheorie ontstaan. Deze technieken zijn in 1885 voor het eerst gebruikt door John Stuart Glashan, George Paxton Young en door Carl Runge om een algemeen criterium op te stellen om te bepalen of een gegeven vijfdegraadsvergelijking al of niet oplosbaar is (zie het artikel van Lazard voor de moderne aanpak). Zij vonden dat gegeven een niet-reduceerbare oplosbare vijfdegraadsvergelijking in Bring-Jerrardvorm,

${\displaystyle x^{5}+ax+b=0}$

deze de volgende vorm moet hebben:

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

waarin ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle \nu }$ rationaal zijn. In 1994 gaven Blair Spearman en Kenneth S. Williams een alternatief,

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(3-4c\varepsilon )}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(11\varepsilon +2c)}{c^{2}+1}}=0}$

voor ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$. De relatie tussen de parametrisering uit 1885 en 1994 valt op wanneer men onderstaande expressie beschouwt

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20+2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

waar

${\displaystyle a={\frac {5(4v+3)}{v^{2}+1}}}$

en gebruikmakend van het geval van de negatieve wortel levert dit, na de variabelen geschaald te hebben, de eerste parametrisatie op, terwijl de positieve wortel de tweede expressie geeft bij ${\displaystyle \varepsilon =-1}$. Het is daarom een noodzakelijke, maar niet voldoende, voorwaarde dat de niet reduceerbare oplosbare vijfdegraadsvergelijking

${\displaystyle z^{5}+a\mu ^{4}z+b\mu ^{5}=0}$

met rationale coëfficiënten gelijk moet zijn aan de simpele kwadratische curve

${\displaystyle y^{2}=(20-a)(5+a)}$

voor sommige rationale ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle y}$.

Aangezien het door nauwkeurig gebruik van de methode van Tschirnhaus mogelijk is om elke vijfdegraadsvergelijking te transformeren in een Bring-Jerrardvorm, geven beide parametrisaties dus een noodzakelijke en voldoende voorwaarde om te kunnen besluiten of een willekeurige, gegeven vijfdegraadsvergelijking al of niet analytisch kan worden opgelost in radicalen.

Een vijfdegraadsvergelijking is oplosbaar in radicalen als de Galoisgroep van deze vijfdegraadsvergelijking, een subgroep van de symmetrische groep S(5) van permutaties van een set van vijf elementen, een oplosbare groep is. In dit geval hangt de vorm van de oplossingen af van de structuur van de Galoisgroep.

Een simpel voorbeeld wordt gegeven door de vergelijking

${\displaystyle \displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0}$,

waar de Galois-groep gelijk is aan de groep F(5), gegenereerd door de permutaties "(1 2 3 4 5)" en "(1 2 4 3)"; de enige reële oplossing is dan

${\displaystyle \displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}.}$

Voor andere oplosbare Galois-groepen kan de vorm van de wortels echter veel complexer zijn. De vergelijking

${\displaystyle \displaystyle x^{5}-5x+12=0}$

heeft bijvoorbeeld een Galois-groep D(5), gegenereerd door "(1 2 3 4 5)" en "(1 4)(2 3)" en om deze oplossing uit te schrijven heeft men ongeveer 600 verschillende symbolen nodig.