Differentiaalvergelijking

We spreken van een lineaire DV met constante coëfficiënten, als de coëfficiënten ${\displaystyle (c_{i})}$ reële of complexe constanten zijn, dus onafhankelijk van x.

Voor homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten:

${\displaystyle c_{n}f^{(n)}+c_{n-1}f^{(n-1)}+\ldots +c_{1}f'+c_{0}f=0}$

bestaat een relatief simpele algemene oplossingsmethode. Daarbij wordt uitgegaan van een oplossing van de vorm:

${\displaystyle f(x)=e^{ax}}$.

Door invullen in de DV reduceert de vergelijking tot de volgende vergelijking voor de parameter a:

${\displaystyle c_{n}a^{n}+c_{n-1}a^{n-1}+\ldots +c_{1}a+c_{0}=0}$.

Dit is een gewone polynomiale vergelijking in a, met in het algemeen n oplossingen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, waarvan er eventueel enkele kunnen samenvallen. Als alle n oplossingen verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de DV gegeven door een lineaire combinatie van de afzonderlijke e-machten:

${\displaystyle f(x)=A_{1}e^{a_{1}x}+A_{2}e^{a_{2}x}+\ldots +A_{n}e^{a_{n}x}}$,

waarin de coëfficiënten ${\displaystyle (A_{i})}$ nog vrij gekozen kunnen worden. Meestal worden de coëfficiënten vastgelegd door de beginvoorwaarden.

We zoeken de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

${\displaystyle f''+f=0}$

We kunnen dat zien als: zoek een functie, die als tweede afgeleide zijn eigen tegengestelde heeft. We weten al dat de sinus en de cosinus deze eigenschap hebben.

Volgens de boven uiteengezette oplossingsmethode, moeten we de vierkantsvergelijking:

${\displaystyle a^{2}+1=0}$

oplossen. Deze heeft twee oplossingen: ${\displaystyle a_{1}=i}$ en ${\displaystyle a_{2}=-i}$.

De algemene oplossing van de DV wordt dus:

${\displaystyle f(x)=A_{1}e^{ix}+A_{2}e^{-ix}}$

We zien dat door geschikte keuze van ${\displaystyle A_{1}{\mbox{ en }}A_{2}}$ inderdaad de sinus en de cosinus als oplossing tevoorschijn komen.

Als tweede voorbeeld nemen we een inhomogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking:

${\displaystyle 4f^{\prime \prime }(x)+f(x)=\sin(x)}$

De algemene strategie om alle oplossingen te vinden is:

1. vind de algemene oplossing van de homogene DV;
2. zoek een oplossing, particuliere oplossing genoemd, van de inhomogene DV;
3. de algemene oplossing van de inhomogene DV wordt verkregen door bij de particuliere oplossing de algemene oplossing van de homogene DV op te tellen.

Deze luidt:

${\displaystyle 4f^{\prime \prime }(x)+f(x)=0}$

De op te lossen veeltermvergelijking wordt dan:

${\displaystyle 4a^{2}+1=0}$

De oplossingen daarvan zijn: ${\displaystyle a_{1}={\tfrac {1}{2}}i}$ en ${\displaystyle a_{2}=-{\tfrac {1}{2}}i}$

Dat geeft als algemene oplossing van de homogene DV:

${\displaystyle f_{H}(x)=A_{1}e^{{\frac {1}{2}}ix}+A_{2}e^{-{\frac {1}{2}}ix}}$.

We kunnen dit herschrijven als

${\displaystyle f_{H}(x)=A\sin({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}x)+B\cos({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}x)}$

We zoeken een functie die aan de gegeven inhomogene DV voldoet, een zogenaamde particuliere oplossing. De twee meest gebruikte methoden om een dergelijke oplossing te vinden zijn de methode van de onbepaalde coëfficiënten en de variatie van de parameters.

Volgend voorbeeld gebruikt een eenvoudige vorm van de eerste van deze twee methoden. Aangezien de tweede afgeleide van een sinus weer een sinus oplevert, zij het met een min-teken, proberen we:

${\displaystyle f_{P}(x)=a\sin(x)}$

als mogelijke oplossing. Invullen levert:

${\displaystyle -4a\sin(x)+a\sin(x)=\sin(x)}$,

waaruit volgt

${\displaystyle a=-{\tfrac {1}{3}}}$.

Een particuliere oplossing is dus:

${\displaystyle f_{P}(x)=-{\tfrac {1}{3}}\sin(x)}$

De algemene oplossing is de som van de algemene oplossing ${\displaystyle f_{H}(x)}$ van de homogene DV en de gevonden particuliere oplossing ${\displaystyle f_{P}(x)=}$:

${\displaystyle f(x)=A\sin \left({\tfrac {1}{2}}x\right)+B\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)-{\tfrac {1}{3}}\sin(x)}$.

Er is ook een algemene oplossingsmethode voor gewone lineaire tweede orde DV's van Lagrange, Variatie van de parameters, maar die is wat ingewikkelder.

Een slinger voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking (met ω een constante):

${\displaystyle f''(t)+\omega \sin f(t)=0}$

De functie f(t) beschrijft de hoek die de slinger maakt met de verticale richting. Deze vergelijking is niet oplosbaar met standaardtechnieken. Een mogelijke aanpak is de benadering van kleine uitwijking door te voeren, zodat sin f(t) ≈ f(t). Hierdoor herleidt de vergelijking zich tot die van de harmonische oscillator.

Een ander voorbeeld is de differentiaalvergelijking van een hangende ketting of touw:

${\displaystyle f(t)f''(t)=(f'(t))^{2}+1}$

Deze heeft de zogenaamde kettinglijn als algemene oplossing

${\displaystyle f(t)=C\cosh {\frac {t-t_{0}}{C}}}$

met C en t₀ integratieconstanten van het vraagstuk.

Men kan bewijzen, dat een lineaire differentiaalvergelijking van ${\displaystyle n}$-de orde, met randvoorwaarden

${\displaystyle y(x_{0})=y_{1}}$

${\displaystyle y'(x_{0})=y_{2}}$

...

${\displaystyle y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}}$

één unieke continu oplossing heeft.

Een mooi voorbeeld om de natuurkundige betekenis van begin- en randvoorwaarden te illustreren is de trillende snaar. De differentiaalvergelijking die een trillende snaar beschrijft heeft oneindig veel oplossingen (waaronder de nuloplossing voor een snaar in rust). Pas met de randvoorwaarden dat de snaar een amplitude nul heeft in haar bevestigingspunten, en de beginvoorwaarde van de stand van de snaar op een bepaald moment is een eenduidige oplossing te berekenen.

Veel verschijnselen in de fysica moeten beschreven worden met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen. Bijvoorbeeld de trilling van een snaar wordt beschreven door

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$,

waarbij ${\displaystyle u(x,t)}$ de uitwijking van de snaar is, ${\displaystyle x}$ de positie van de snaar (van 0 aan het ene eind tot 1 aan het andere eind) en ${\displaystyle t}$ de tijd. Deze partiële differentiaalvergelijking is van de tweede orde, zowel in de tijd als in de plaats. Er zijn dus twee randvoorwaarden in de tijd ("beginvoorwaarde") nodig, bijvoorbeeld

${\displaystyle u(x,0)=f(x),\ {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=g(x)}$

en twee randvoorwaarden in de plaats, bijvoorbeeld

${\displaystyle u(0,t)=0}$,

${\displaystyle u(1,t)=0}$.

Deze randvoorwaarden houden in dat de snaar ingeklemd is. Door middel van scheiden van veranderlijken is deze DV te herleiden tot twee gewone DV's, waarin alleen tijd of plaats voorkomt als onafhankelijk veranderlijke.