Veelhoek

Veelhoeken worden ook wel taxonomisch geclassificeerd, zoals geïllustreerd in onderstaande boomstructuur:

Veelhoeken kunnen onder meer worden ingedeeld naar het aantal zijden (dit aantal is gelijk aan het aantal hoekpunten):

De som der hoeken van een veelhoek met ${\displaystyle n}$ hoeken (${\displaystyle n\geq 2}$) is in radialen:

${\displaystyle (n-2)\pi }$

en in graden:

${\displaystyle (n-2)180=180n-360}$

Dit laatste kan men als volgt begrijpen:

• Bij het bewegen langs de zijden als boven tegen de klok in krijgt men bij een veelhoek die wordt beschreven door een zichzelf niet overschrijdende grens, een totale draaiing van 360 graden. De draaiing die men bij een hoekpunt moet maken (de uitwendige hoek), is gelijk aan 180° min de inwendige hoek, waaruit de genoemde formule eenvoudig volgt. Deze redenering geldt ook als enkele van de inwendige hoeken groter zijn dan 180°: als men tegen de klok in langs de zijden van de veelhoek beweegt, draait men daar naar rechts, wat telt als een negatieve draaiing. De redenering geldt ook bij inwendige hoeken van 0 en 360 graden, mits men daar een draai maakt van respectievelijk 180 en −180 graden.

Bij een convexe ${\displaystyle n}$-hoek kan men ook een andere redenering volgen; deze kan men door middel van de diagonalen uit één hoekpunt verdelen in (${\displaystyle n-2}$) driehoeken, waarbij de hoeken van de veelhoek opgebouwd zijn uit de hoeken van de driehoeken, waarbij voor elk de som van de hoeken ${\displaystyle \pi }$ radialen of 180° is.

Uit het voorgaande volgt de inwendige hoek van een regelmatige veelhoek met ${\displaystyle n}$ hoeken, in radialen:

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$

en in graden:

${\displaystyle {\frac {(n-2)180}{n}}=180-{\frac {360}{n}}}$

De straal ${\displaystyle r}$ van de ingeschreven cirkel wordt gegeven door:

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}\,\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

De straal ${\displaystyle R}$ van de omgeschreven cirkel wordt gegeven door:

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}\,\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {a}{2\,\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

De oppervlakte ${\displaystyle A}$ van een veelhoek die wordt beschreven door een zichzelf niet overschrijdende grens, kan worden berekend als de cartesische coördinaten van de hoekpunten bekend zijn, en wel:

${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$

Hierbij dienen de hoekpunten tegen de klok in te zijn opgesomd. De oppervlakte wordt dan berekend als:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n})=}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{1}(y_{2}-y_{n})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{4}-y_{2})+\ldots +x_{n-1}(y_{n}-y_{n-2})+x_{n}(y_{1}-y_{n-1})\right)}$

Deze formule heet de shoelace formula (schoenveterformule, wegens het patroon van vermenigvuldigingen als de x- en y-coördinaten naast elkaar in twee kolommen staan), en is voor het eerst beschreven door Meister in 1769 en door Gauss in 1795. Het bewijs kan worden verkregen door de veelhoek in driehoeken te verdelen, maar de formule kan ook worden gezien als een speciaal geval van de stelling van Green.

De oppervlakte van een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek met zijde ${\displaystyle z}$ bedraagt:

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}nz^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Bijvoorbeeld voor een vierkant met een zijde van 2:

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 2^{2}\cot \left({\frac {\pi }{4}}\right)=4}$

Als men twee eenvoudige veelhoeken met gelijk oppervlak beschouwt, dan kan de ene in veelhoeksvormen worden geknipt die kunnen worden samengevoegd om de tweede veelhoek te vormen. Dit staat bekend als het Bolyai-Gerwien theorema.

Een veelhoek met een omgeschreven cirkel heet een koordenveelhoek. Alle regelmatige veelhoeken zijn koordenveelhoeken, net als alle driehoeken en rechthoeken.

Een veelhoek met een ingeschreven cirkel heet een raaklijnenveelhoek. Alle regelmatige veelhoeken zijn raaklijnenveelhoeken, net als alle driehoeken en ruiten.

Een veelhoek die zowel raaklijnenveelhoek als koordenveelhoek is, heet een bicentrische veelhoek. Voor bicentrische veelhoeken geldt de porisme van Poncelet en de stelling van Weill.

Constructie van een vijfhoek met een carlylecirkel

Niet alle regelmatige veelhoeken kunnen worden geconstrueerd met liniaal en passer. De voldoende voorwaarde hiervoor is bepaald door Carl Friedrich Gauss in 1796. Pierre Wantzel bewees in 1836 de noodzakelijke voorwaarde. Deze luidt:

Een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek kan worden geconstrueerd met een ongemerkte liniaal en passer, dan en slechts dan als de oneven priemfactoren van ${\displaystyle n}$ verschillende priemgetallen zijn en kunnen worden geschreven als:

${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$

Deze priemgetallen zijn fermatgetallen. Uit het bewijs van Wantzel volgt, dat een zeshoek (met priemfactoren 2 en 3) wel met passer en liniaal geconstrueerd kan worden, maar een zevenhoek niet. Een vijfhoek kan dus wel met passer en liniaal worden geconstrueerd, maar daar is wel een ingewikkelde constructie voor nodig.

De enig bekende (en mogelijk de enige) fermat-priemgetallen zijn:

• 3 — driehoek
• 5 — vijfhoek
• 17 — zeventienhoek
• 257 — 257-hoek
• 65537 — 65537-hoek

Een diagonaal is een verbindingslijn tussen twee verschillende, niet opeenvolgende, hoekpunten van de veelhoek. Een diagonaal hoeft niet door het middelpunt van de veelhoek te lopen. Een diagonaal kan zich ook buiten de veelhoek bevinden (dit geldt voor een of meer diagonalen dan en slechts dan als de veelhoek concaaf is).

Het aantal diagonalen van een veelhoek met n hoeken (n>2) bedraagt ${\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}$.

Uit ieder van de n hoeken gaat een diagonaal naar ieder van de n hoeken, met uitzondering van de twee opeenvolgende hoekpunten en zichzelf (n−3). Op iedere diagonaal liggen twee hoekpunten, vandaar dat met de uitkomst n(n−3) moet delen door twee.

Met bovenstaande formule blijkt:

• een driehoek heeft geen diagonalen;
• een vierkant heeft twee diagonalen;
• een vijfhoek heeft vijf diagonalen;

Met veelhoeken kunnen al dan niet regelmatige vlakverdelingen worden gemaakt, zoals deze voorkomen in Arabische kunst en ook in de grafiek van Escher. Met elke driehoek en elke vierhoek kan een vlakverdeling gemaakt worden die bestaat uit alleen deze vormen. Met vijf- en meerhoeken kan het alleen als de veelhoek aan bepaalde voorwaarden voldoet. Een vlakverdeling van een regelmatige veelhoek is alleen mogelijk met de reeds genoemde drie- en vierhoek en met de zeshoek. Dit komt doordat de hoeken van een driehoek (60°), vierhoek (90°) en een zeshoek (120°) alle een deler zijn van 360°. Voor alle andere hoeken van regelmatige veelhoeken geldt dit niet.

Elke veelhoek met ${\displaystyle n}$ hoeken is een ${\displaystyle n^{2}}$ configuratie.

Zie de categorie Polygons van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.