Carlylecirkel

Bij de vergelijking ${\displaystyle {{x}^{2}}-px+q=0}$ is de cirkel die in het beschouwde rechthoekige coördinatenstelsel het lijnstuk ${\displaystyle AB}$ met ${\displaystyle A=(0,1)}$ en ${\displaystyle B=(p,q)}$ als middellijn heeft, de Carlyle-cirkel van die vergelijking.

In de figuur rechts (fig. 1) is een cirkel ${\displaystyle K}$ getekend met middellijn ${\displaystyle AB}$, waarbij ${\displaystyle A=(0,1)}$, ${\displaystyle B=(p,q)}$. De punten ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ zijn de snijpunten van ${\displaystyle K}$ met de x-as, ${\displaystyle M}$ is het middelpunt van ${\displaystyle K}$. De punten ${\displaystyle B',B''}$ zijn de loodrechte projecties van ${\displaystyle B}$ op de x- en de y-as, ${\displaystyle M'}$ is de loodrechte projectie van ${\displaystyle M}$ op de x-as. Volgens de machtstelling bij een cirkel is nu:

${\displaystyle O{{P}_{1}}\cdot O{{P}_{2}}=OA\cdot OB''}$

Als nu ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ de x-coördinaten van ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ zijn, dan is:

${\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=1\cdot q=q}$

Omdat ${\displaystyle M'}$ het midden is van het lijnstuk ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$, en daarmee ook van het lijnstuk ${\displaystyle OB'}$ is:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})={\tfrac {1}{2}}p}$  of  ${\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=p}$

Met andere woorden (en volgens de formules van Viète): ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ zijn de oplossingen van de vergelijking ${\displaystyle {{x}^{2}}-px+q=0}$. De cirkel ${\displaystyle K}$ is daarmee de Carlyle-cirkel van deze vergelijking.

Fig. 2 - Constructie van een regelmatige vijfhoek

Toepassing van een Carlyle-cirkel

Het construeren van een regelmatige vijfhoek is equivalent met het tekenen van de oplossingen ${\displaystyle z_{0},z_{1},...,z_{4}}$ van de vergelijking ${\displaystyle {{z}^{5}}-1=0}$ in het complexe vlak.[2] Deze oplossingen liggen allen op de eenheidscirkel en hebben een argument dat een veelvoud is van ${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}{\text{ }}\!\!\pi \!\!{\text{ }}\ \ {\text{(=7}}{{\text{2}}^{\text{o}}})}$; zie fig. 2.
Omdat ${\displaystyle z_{0}=1}$ een oplossing is van die vergelijking, voldoen de andere oplossingen aan de vergelijking:

${\displaystyle {{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z+1=0}$

Het paar ${\displaystyle z_{1},z_{4}}$, en ook het paar ${\displaystyle z_{2},z_{3}}$, ligt symmetrisch ten opzichte van de reële as. Daarom zijn ${\displaystyle z_{1}+z_{4}=x_{1}}$ en ${\displaystyle z_{2}+z_{3}=x_{2}}$ reële getallen. Eenvoudig is na te gaan dat dan ${\displaystyle p=x_{1}+x_{2}=-1}$ en ${\displaystyle q={x_{1}}\cdot {x_{2}}=-1}$, waaruit volgt dat ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ oplossingen zijn van de vergelijking ${\displaystyle {{x}^{2}}+x-1=0}$. Bij die vergelijking hoort de Carlyle-cirkel waarvan het punt ${\displaystyle B=(p,q)=(-1,-1)}$ een eindpunt van een middellijn is. Met ${\displaystyle A=(0,1)}$ is dan ${\displaystyle M=(-{\tfrac {1}{2}},0)}$ het middelpunt van die cirkel.
De punten ${\displaystyle z_{1},z_{4}}$ zijn dan te construeren als snijpunten van de middelloodlijn van de vector ${\displaystyle {{\overline {x}}_{1}}}$ met de eenheidscirkel, en ${\displaystyle z_{2},z_{4}}$ als snijpunten van de middelloodlijn van de vector ${\displaystyle {{\overline {x}}_{2}}}$ met de eenheidscirkel.

Opmerkingen

• Alle noodzakelijke constructiestappen kunnen bij een gegeven cartesisch assenstelsel met passer en (ongemerkte) liniaal worden uitgevoerd.
• Carlyle-cirkels kunnen ook worden gebruikt bij de constructie van de regelmatige 17-hoek, 257-hoek en de 65537-hoek. In deze gevallen is er evenwel sprake van een serie na elkaar te construeren Carlyle-cirkels, met (steeds) ingewikkelder vierkantsvergelijkingen.[3]

• Zeventienhoek
• Tweehonderdzevenenvijftighoek
• Vijfenzestigduizend vijfhonderdzevenendertighoek

• John H. Conway, Richard K. Guy (1996): The Book of Numbers. New York (USA): Springer Verlag Inc.; pp. 181-210.
• D.E. Joyce (1996): Euclid’s Elements, Book IV, Prop. 11 (To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle). Worcester (MA, USA): Department of Mathematics and Computer Science, Clark University.
• G.F. Seelinger, B.E. Kinser (2008): Revisiting Thomas Carlyle and Mathematics.^{[dode link]} In: Carlyle Studies Annual, vol. 24; pp. 67-75.

• D. Dirkse: Constructie van een regelmatige vijfhoek. Op: Dav Data.
• Eric W. Weisstein: Carlyle Circle. Op: MathWorld − A Wolfram Web Resource.