Carlylecirkel
Een Carlyle-cirkel is een cirkel in de vlakke meetkunde die, ten opzichte van een vastgelegd rechthoekig coördinatenstelsel, verbonden is met een vierkantsvergelijking. De cirkel is genoemd naar de Schotse schrijver, historicus en wiskundige Thomas Carlyle (1795–1881).[1]
![](../I/m/Carlyle(definition)_-_Definitie_van_de_Carlyle-cirkel.png)
Definitie
Bij de vergelijking is de cirkel die in het beschouwde rechthoekige coördinatenstelsel het lijnstuk met en als middellijn heeft, de Carlyle-cirkel van die vergelijking.
Analytische uitwerking
In de figuur rechts (fig. 1) is een cirkel getekend met middellijn , waarbij , . De punten , zijn de snijpunten van met de x-as, is het middelpunt van . De punten zijn de loodrechte projecties van op de x- en de y-as, is de loodrechte projectie van op de x-as. Volgens de machtstelling bij een cirkel is nu:
Als nu de x-coördinaten van zijn, dan is:
Omdat het midden is van het lijnstuk , en daarmee ook van het lijnstuk is:
- of
Met andere woorden (en volgens de formules van Viète): zijn de oplossingen van de vergelijking . De cirkel is daarmee de Carlyle-cirkel van deze vergelijking.
Constructie van een regelmatige vijfhoek
![](../I/m/Carlyle(construction)_-_Constructie_van_een_regelmatige_vijfhoek.png)
- Toepassing van een Carlyle-cirkel
Het construeren van een regelmatige vijfhoek is equivalent met het tekenen van de oplossingen van de vergelijking
in het complexe vlak.[2] Deze oplossingen liggen allen op de eenheidscirkel en hebben een argument dat een veelvoud is van ; zie fig. 2.
Omdat een oplossing is van die vergelijking, voldoen de andere oplossingen aan de vergelijking:
Het paar , en ook het paar , ligt symmetrisch ten opzichte van de reële as. Daarom zijn en reële getallen. Eenvoudig is na te gaan dat dan en , waaruit volgt dat oplossingen zijn van de vergelijking . Bij die vergelijking hoort de Carlyle-cirkel waarvan het punt een eindpunt van een middellijn is. Met is dan
het middelpunt van die cirkel.
De punten zijn dan te construeren als snijpunten van de middelloodlijn van de vector
met de eenheidscirkel, en als snijpunten van de middelloodlijn van de vector met de eenheidscirkel.
- Opmerkingen
- Alle noodzakelijke constructiestappen kunnen bij een gegeven cartesisch assenstelsel met passer en (ongemerkte) liniaal worden uitgevoerd.
- Carlyle-cirkels kunnen ook worden gebruikt bij de constructie van de regelmatige 17-hoek, 257-hoek en de 65537-hoek. In deze gevallen is er evenwel sprake van een serie na elkaar te construeren Carlyle-cirkels, met (steeds) ingewikkelder vierkantsvergelijkingen.[3]
Zie ook
Literatuur
- John H. Conway, Richard K. Guy (1996): The Book of Numbers. New York (USA): Springer Verlag Inc.; pp. 181-210.
- D.E. Joyce (1996): Euclid’s Elements, Book IV, Prop. 11 (To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle). Worcester (MA, USA): Department of Mathematics and Computer Science, Clark University.
- G.F. Seelinger, B.E. Kinser (2008): Revisiting Thomas Carlyle and Mathematics.[dode link]
In: Carlyle Studies Annual, vol. 24; pp. 67-75.
Externe links
- D. Dirkse: Constructie van een regelmatige vijfhoek. Op: Dav Data.
- Eric W. Weisstein: Carlyle Circle. Op: MathWorld − A Wolfram Web Resource.
Noten
- Deze cirkel wordt (voornamelijk in Duitstalige literatuur) ook Lill-cirkel genoemd; naar de Oostenrijkse ingenieur Eduard Lill (1830–1900).
- R. Kaenders, Reinhard Schmidt et al. (2014): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Wiesbaden (D): Springer Spektrum, 2e editie; pp. 68-71.
- Duane W. DeTemple (1991): Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions.
In: The American Mathematical Monthly, vol. 98, nr. 2; pp. 97-108. Via: InternetArchive.