Ingeschreven cirkel

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met I, en heeft barycentrische coördinaten (a:b:c). Het is daarom een driehoekscentrum, en heeft Kimberlingnummer X(1). Het is het hoogtepunt van de driehoek gevormd door de middelpunten van de aangeschreven cirkels, het complement van het punt van Nagel en het anticomplement van het punt van Spieker.

De straal van de ingeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met r. Formules voor r zijn

• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\Delta }{s}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {abc}{4sR}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r=R(\cos A+\cos B+\cos C-1)}$

Voor een regelmatige veelhoek kan de straal van de ingeschreven cirkel worden berekend met:

• ${\displaystyle r={\frac {a}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$.

Hierin is:

${\displaystyle R}$ de straal van de omgeschreven cirkel

${\displaystyle \Delta }$ de oppervlakte van ABC

${\displaystyle s}$ de halve omtrek van ABC

${\displaystyle a}$ de lengte van een enkele zijde van de regelmatige veelhoek

${\displaystyle n}$ het aantal zijden van de regelmatige veelhoek

Het punt van Gergonne

De raakpunten van de ingeschreven cirkel met de zijden zijn de voetpuntsdriehoek van het middelpunt van de ingeschreven cirkel, maar vormen ook een Ceva-driehoek van een punt. Dit punt wordt het punt van Gergonne genoemd.

• Aangeschreven cirkel
• Apothema
• Menglineair ingeschreven cirkel
• Omgeschreven cirkel