Stelling van Green

Als ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ continue functies zijn in een normaal gebied ${\displaystyle D}$ dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue partiële afgeleiden ${\displaystyle {\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}}$ en ${\displaystyle {\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}}$, en ${\displaystyle D}$ wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten curve ${\displaystyle C}$ (doorlopen in tegenwijzerzin)[1]), dan geldt:

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\oint _{\!\!\!C}{\big (}P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y{\big )}}$

Hier volgt een bewijs voor het geval dat ${\displaystyle D}$ een gebied is zoals in nevenstaande figuur is aangegeven, dus onder en boven begrensd door continue curven ${\displaystyle C_{1}}$ en ${\displaystyle C_{3}}$, en links en rechts door rechte lijnen ${\displaystyle C_{2}}$ en ${\displaystyle C_{4}}$.

Beschrijf het gebied door:

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$,

waarin ${\displaystyle g_{1}}$ en ${\displaystyle g_{2}}$ continue functies zijn. We berekenen:

${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\ \mathrm {d} y\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}P(x,g_{2}(x))-P(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x}$

Voor de integraal van ${\displaystyle P}$ over ${\displaystyle C}$ vinden we:

${\displaystyle \int _{C}P\,\mathrm {d} x=\int _{C_{1}}P\,\mathrm {d} x+\int _{C_{2}}P\,\mathrm {d} x+\int _{C_{3}}P\,\mathrm {d} x+\int _{C_{4}}P\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =-\int _{a}^{b}P(x,g_{2}(x))\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}P(x,g_{1}(x))\,\mathrm {d} x}$

Uit deze twee resultaten volgt:

${\displaystyle \int _{C}P\,\mathrm {d} x=-\iint _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

Op analoge wijze kan men voor ${\displaystyle Q}$ afleiden dat:

${\displaystyle \int _{C}Q\,\mathrm {d} y=\iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

Uit deze laatste twee volgt de stelling.

Met ${\displaystyle P=0}$ en ${\displaystyle Q=x}$ en met ${\displaystyle P=-y}$ en ${\displaystyle Q=0}$ krijgen we voor de oppervlakte ${\displaystyle A}$ binnen de contour ${\displaystyle C}$ (doorlopen in de richting tegen de klok in):

${\displaystyle A=\oint _{\!\!\!C}x\,{\rm {d}}y=-\oint _{\!\!\!C}y\,{\rm {d}}x}$

Een interessante technische toepassing is de planimeter, een meetinstrument om een oppervlakte te bepalen door het aftasten van de omtrek.

• Divergentiestelling
• Planimeter