Lijnstuk

Als ${\displaystyle V}$ een vectorruimte is over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of ${\displaystyle \mathbb {C} }$, en ${\displaystyle L}$ een deelverzameling is van ${\displaystyle V}$, dan is ${\displaystyle L}$ een lijnstuk als ${\displaystyle L}$ geparametriseerd kan worden als

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$

voor elk tweetal vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$, waar ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$. In dat geval zijn de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {u+v} }$ de eindpunten van ${\displaystyle L}$.

Soms wordt onderscheid gemaakt tussen een open en een gesloten lijnstuk. Een gesloten lijnstuk is inclusief de eindpunten, terwijl een open lijnstuk exclusief de eindpunten is, dus als een deelverzameling ${\displaystyle L}$ die geparametriseerd kan worden als

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}$

voor enige vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$, waar ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$.

Een alternatieve, equivalente, definitie is: een gesloten lijnstuk is het convexe omhulsel van twee afzonderlijke punten.

Nog een alternatieve definitie is de volgende. In de meetkunde kan worden gedefinieerd dat een punt B ligt tussen twee andere punten A en C als de afstand AB plus de afstand BC gelijk is aan de afstand AC. Dus bijvoorbeeld in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ is het lijnsegment met de eindpunten A = (a_x, a_y) en C = (c_x, c_y) de volgende verzameling punten:

${\displaystyle \{(x,y)|{\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}\}}$.

• Een lijnstuk is een verbonden, niet-lege verzameling.
• Als ${\displaystyle V}$ een topologische vectorruimte is, dan is een gesloten lijnstuk een gesloten verzameling in ${\displaystyle V}$. Daarentegen is een open lijnstuk een open verzameling in ${\displaystyle V}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle V}$ één-dimensionaal is.
• Meer algemeen dan hierboven kan het concept van een lijnstuk worden gedefinieerd in de geordende meetkunde.

• Interval (wiskunde)