Nevenklasse
In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep een deelverzameling of van , die bestaat uit de producten van een element en de elementen van een ondergroep van . De nevenklasse van ten opzichte van heet linkernevenklasse en de nevenklasse rechternevenklasse. Nevenklassen zijn equivalentieklassen en vormen als zodanig een partitie van de groep. Het aantal elementen in een nevenklasse of is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep zelf.
Definitie
Zij een groep, een ondergroep van en een element van .
De linkernevenklasse van ten opzichte van is de verzameling producten van elementen van , links samengesteld met :
- .
De verzameling van alle linkernevenklassen van in noteert men gewoonlijk als .
De rechternevenklasse van ten opzichte van is de verzameling producten van elementen van , rechts samengesteld met :
- .
De verzameling van alle rechternevenklassen van in noteert men gewoonlijk als
Equivalentierelatie
Twee elementen en van de groep zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse behoren.
- als voor een : .
Dit komt erop neer dat er een is zodanig dat:
- .
De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.
Commutativiteit
In een abelse groep zijn linker- en rechternevenklassen gelijk. In een niet-abelse groep kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen. De normalisator van in is de verzameling elementen van waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.
Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep identiek zijn voor alle elementen van , heet een normaaldeler van en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van over genoemd.
In een abelse groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.
Voorbeelden
Voorbeeld in een abelse groep
Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:
De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:
Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.
Voorbeeld in een niet-abelse groep
Beschouw de groep SO(3) der rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een Lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt slechts de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel en noem de ondergroep van die bestaat uit de rotaties om de -as. Noem de rotatie over een rechte hoek om de -as die de -as op de -as afbeeldt, met behoud van de positieve oriëntatie.
De linkernevenklasse bestaat uit alle rotaties die de -as met behoud van oriëntatie op de -as afbeelden. De rechternevenklasse bestaat uit alle rotaties die de -as met omkering van de oriëntatie op de -as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk zelf.
De ondergroep is geen normaaldeler van . De normalisator van in is zelf.
Cardinaliteit
De samenstelling met een vast element is een permutatie van , dus alle nevenklassen van hebben evenveel elementen als zelf.
De verschillende linkernevenklassen van zijn onderling disjunct.
Uit het bovenstaande volgt voor eindige groepen de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:
- De orde van is het product van de orde van en het aantal linkernevenklassen van in .
Uiteraard gelden gelijksoortige conclusies voor de rechternevenklassen.