Aftelbare verzameling

Een verzameling ${\displaystyle S}$ is aftelbaar oneindig als ${\displaystyle S}$ gelijkmachtig is met ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , d.w.z. als er een bijectie ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to S}$ bestaat.

De volgende definities zijn equivalent: Een verzameling ${\displaystyle S}$ is aftelbaar als:

• ${\displaystyle S}$ eindig of aftelbaar oneindig is
• er een surjectie ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to S}$ bestaat
• er een injectie ${\displaystyle f:S\to \mathbb {N} }$ bestaat
• er een bijectie ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to S}$ bestaat, of voor zeker geheel getal ${\displaystyle n\geq 0}$ een bijectie ${\displaystyle f:\{1,\ldots ,n\}\to S}$
• ${\displaystyle S}$ gelijkmachtig is met ${\displaystyle N}$ , of voor zeker geheel getal ${\displaystyle n\geq 0}$ gelijkmachtig met ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

• Als ${\displaystyle R}$ aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie ${\displaystyle g}$ tussen ${\displaystyle R}$ en een bepaalde verzameling ${\displaystyle S}$ , dan is ook ${\displaystyle S}$ aftelbaar.

• Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan als volgt ingezien worden:

Stel dat ${\displaystyle S_{1}}$ tot en met ${\displaystyle S_{n}}$ aftelbaar zijn, met ${\displaystyle n}$ een natuurlijk getal. Dan zijn er ${\displaystyle n}$ surjectieve functies ${\displaystyle f_{i}}$ tussen de natuurlijke getallen en ${\displaystyle S_{i}}$ . Die surjectieve functies kunnen gecombineerd worden tot één surjectieve functie:

${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{n}\to \prod _{i=1}^{n}S_{i}:(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\to f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})=(f_{1}(x_{1}),f_{2}(x_{2})\ldots f_{n}(x_{n}))}$

Daar ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ aftelbaar is voor elke natuurlijke ${\displaystyle n}$ , zal ook ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}S_{i}}$ aftelbaar zijn.

• De verzameling van de gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ is aftelbaar. Een voor de hand liggende aftelling is de volgende:

${\displaystyle 0,-1,1,-2,2,-3,3,\ldots }$

• Een mogelijke aftelling van ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ is de volgende:

${\displaystyle (0,0),(0,1),(1,0),(2,0),(1,1)(0,2),(3,0),(2,1),\ldots }$

Eerst worden dus de paren met som 0 opgeschreven, dan die met som 1, daarna met som 2, enzovoort. Deze procedure kan uitgebreid worden naar een willekeurig eindige macht van ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

• De verzameling van de positieve rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ is aftelbaar, want met elk positief rationaal getal correspondeert met een koppel natuurlijke getallen (teller, noemer). Door afwisselend een positief en een negatief rationaal getal te tellen, volgt ook dat de rationale getallen aftelbaar zijn.

• Georg Cantor heeft bewezen dat de verzameling van de reële getallen niet aftelbaar is. Dit bewijs staat bekend als het diagonaalbewijs van Cantor.