Integriteitsdomein

• In een lichaam heeft ieder element behalve 0 een inverse voor de vermenigvuldiging en kunnen er dus geen nuldelers zijn. Als namelijk ${\displaystyle a\cdot b=0}$ en ${\displaystyle b\neq 0,}$ dan is ${\displaystyle a=a\cdot b\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}=0.}$
• De gehele getallen van Gauss vormen een integriteitsdomein.
• Als ${\displaystyle K}$ een lichaam is, dan is de ring ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ van de polynomen in ${\displaystyle n}$ variabelen met coëfficiënten in ${\displaystyle K}$ een integriteitsgebied.
• Elke deelring met een eenheidselement van een integriteitsgebied is opnieuw een integriteitsgebied.
• Met modulair rekenen: De ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ van de restklassen modulo 6 is een commutatieve ring met eenheidselement, maar de restklassen van 2 en 3 zijn nuldelers: ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}.}$

Een commutatieve ring met eenheidselement is een integriteitsdomein als en slechts als het ideaal (0) een priemideaal is.

Een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ met eenheidselement is een integriteitsdomein als voor ieder element ${\displaystyle r\neq 0}$ de vermenigvuldiging met ${\displaystyle r}$ een injectieve transformatie is:

${\displaystyle \forall r\in R\setminus \{0\},\forall a,b\in R:r\cdot a=r\cdot b\implies a=b}$

Een ring is een integriteitsdomein dan en slechts dan als het een deelring met eenheidselement is van een lichaam. Een dergelijk lichaam kan expliciet geconstrueerd worden (zie hieronder bij quotiëntenlichaam).

Iedere commutatieve ring met eenheidselement waarvan de karakteristiek ${\displaystyle n}$ verschilt van 0, omvat de ring der restklassen modulo ${\displaystyle n}$ als deelring. Hieruit volgt dat de karakteristiek van een integriteitsgebied ofwel 0, ofwel een priemgetal is.

In een integriteitsdomein kunnen we op een abstracte manier breuken definiëren, analoog met de constructie van de rationale getallen aan de hand van paren gehele getallen. Het resultaat is een lichaam dat het oorspronkelijke integriteitsgebied als deelring omvat, genaamd het quotiëntenlichaam of breukenlichaam van ${\displaystyle R.}$