Kern (algebra)

De kern of nulruimte van een lineaire afbeelding ${\displaystyle f:V\to W}$ is de verzameling van alle vectoren uit ${\displaystyle V,}$ die onder ${\displaystyle f}$ op de nulvector van ${\displaystyle W}$ worden afgebeeld:

${\displaystyle N(f)=\{x\in V|f(x)=0\}}$

De kern is een lineaire deelruimte van ${\displaystyle V.}$

Voor matrices is de kern op dezelfde manier gedefinieerd. Het is de kern van de als lineaire afbeelding opgevatte matrix, dus:

De kern van een matrix ${\displaystyle A}$ is de verzameling van vectoren ${\displaystyle v}$ waarvoor geldt dat ${\displaystyle Av=0:}$

${\displaystyle N(A)=\{v\in \mathrm {dom} (A)|Av=0\}}$

De nulruimte van een lineaire afbeelding wordt in sommige werken ook met ${\displaystyle \mathrm {ker} (A)}$ aangeduid, "ker" is afkomstig van een afkorting voor het Engelse kernel.

De loodrechte projectie van de 'gewone' driedimensionale euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ op het xy-vlak is een lineaire afbeelding. Het domein is de gehele ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, maar het beeld is alleen het xy-vlak, dus tweedimensionaal. De kern van deze afbeelding is de z-as, die in zijn geheel op de oorsprong (nulvector) van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ wordt afgebeeld.

Een vierkante ${\displaystyle n\times n-}$matrix, die kan worden geïnverteerd, definieert een lineaire afbeelding van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ op zichzelf: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.

Het bereik van ${\displaystyle f}$ is de deelverzameling van alle punten in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, die het beeld ${\displaystyle f(x)}$ van een punt ${\displaystyle x}$, ook in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, zijn. ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle f(x)}$ zijn over het algemeen verschillend, maar mogen hetzelfde zijn. De som van de dimensie van het bereik van ${\displaystyle f}$ en de dimensie van de kern van ${\displaystyle f}$ is volgens de dimensiestelling gelijk aan de dimensie van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dus ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n=\mathrm {dim} \ \mathrm {ker} (f)+\mathrm {dim} \ \mathrm {bereik} (f)}$.

Dat betekent dat een lineaire afbeelding ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ op zichzelf dan en slechts dan injectief is, als de kern van ${\displaystyle f}$ alleen de nulvector bevat.

De nulliteit ${\displaystyle \nu }$ van een lineaire afbeelding of matrix is de dimensie van de kern van die lineaire afbeelding of matrix. Intuïtief is dit begrip als volgt te duiden: een matrix die uit niets anders dan nullen bestaat, heeft meer nulliteit dan een matrix waarvan de determinant nul is, maar waarvan alle minoren verschillend van nul zijn.

De operatorentheorie hanteert een andere betekenis voor de term kern, zie gesloten operator.