Nilpotent

De bovenstaande definitie kan in het bijzonder worden toegepast op vierkante matrices. De matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

is nilpotent omdat ${\displaystyle A^{3}=0\,}$. Men spreekt van een nilpotente matrix.

In de factorring Z/9Z, is de klasse van 3 nilpotent, omdat ${\displaystyle 3^{2}\,}$ congruent is met 0 modulo 9.

De ring van de coquaternionen bevat een kegel van nilpotenten.

Geen enkel nilpotent element kan een eenheid zijn (behalve in een triviale ring {0}, die slechts één enkel element 0 = 1 bevat). Alle nilpotente elementen die van nul verschillen zijn nuldelers.

Een vierkante matrix waarvan een orde geen coëfficiënten heeft in een commutatief lichaam is dan en slechts dan als nilpotent als zijn karakteristieke polynoom gelijk is aan ${\displaystyle T^{n}\,}$. Dit is alleen het geval wanneer ${\displaystyle A^{n}=0\,}$.

Nilpotente elementen van een commutatieve ring vormen een ideaal, de nilradicaal van deze ring.

Als x nilpotent is, dan is 1 - x een eenheid, omdat ${\displaystyle x^{n}=0\,}$ inhoudt dat

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\ldots +x^{n-1})=1-x^{n}=1\,}$.

Een operator ${\displaystyle Q\,}$, die voldoet aan ${\displaystyle Q^{2}=0\,}$ is nilpotent. Het BRST formalisme is een belangrijk voorbeeld in de natuurkunde.