Poissonverdeling

Soms wordt ${\displaystyle \lambda }$ iets anders gebruikt, namelijk als het verwachte aantal voorvallen per tijdseenheid. In dat geval is, met ${\displaystyle N_{t}}$ het aantal voorvallen dat optreedt vóór tijdstip ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle P(N_{t}=k)=f(k;\lambda t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}e^{-\lambda t}}$,

en de wachttijd ${\displaystyle T}$ tot het eerste voorval is een continue willekeurige variabele met een exponentiële verdeling. Deze verdeling kan worden afgeleid uit het feit dat

${\displaystyle P(T>t)=P(N_{t}=0)=e^{-\lambda t}}$

Wanneer men de tijd erbij betrekt, dan heeft men een 1-dimensionaal poissonproces, waarin men zowel de discrete poissongedistribueerde toevalsgrootheden heeft die het aantal aankomsten in elk tijdsinterval tellen, als de continue erlang-gedistribueerde wachttijden. Er bestaan ook poissonprocessen met een graad groter dan een.

De poissonverdeling komt voor in relatie met zogenaamde poissonprocessen. Hij is van toepassing op diverse fenomenen die een discrete natuur hebben (dat wil zeggen dat ze 0, 1, 2, 3... keer voorkomen gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied), wanneer de kans op het evenement constant is in de tijd of in de ruimte. Voorbeelden zijn:

• het aantal binnen een bepaalde tijd vervallen radioactieve atoomkernen in een stuk radioactief materiaal
• het aantal auto's die gedurende een zekere tijd een bepaald punt van een weg passeren (maar niet als het zo druk is dat er twee of meer tegelijk voorbijkomen!)
• het aantal door een secretaresse gemaakte typefouten bij het typen van een enkele pagina
• het aantal telefoontjes die iemand op een dag krijgt
• het aantal keren per jaar dat een taalkundige discussie opvlamt
• het aantal keren in een minuut dat een webserver wordt benaderd
• het aantal in een uur gewijzigde pagina's op Wikipedia
• het aantal dode dieren op een kilometer weg
• het aantal mutaties in een stuk DNA van gegeven lengte na een bepaalde stralingsdosis
• het aantal naaldbomen op een hectare gemengd bos
• het aantal sterren in een gegeven ruimte
• het aantal op een vierkante mijl van Londen gevallen bommen gedurende een Duitse luchtaanval in het begin van de Tweede Wereldoorlog

De poissonverdeling kan afgeleid worden als limietgeval van een binomiale verdeling met parameters ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle \lambda /n}$, als ${\displaystyle n}$ naar oneindig gaat. Dat is de kansverdeling van het aantal gelukte pogingen uit ${\displaystyle n}$, met als kans ${\displaystyle \lambda /n}$ op succes voor elke poging. Laat ${\displaystyle X_{n}}$binomiaal verdeeld zijn met parameters ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle \lambda /n}$, dan is

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{n}=k)&={n! \over k!(n-k)!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\to {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\end{aligned}}}$

want

${\displaystyle {\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}={\frac {n(n-1)\cdots {\big (}n-(k-1){\big )}}{n^{k}}}=1\cdot (1-{\tfrac {1}{n}})\cdots (1-{\tfrac {k-1}{n}})\to 1}$

• De verwachtingswaarde voor een poisson-verdeelde stochastische variabele X is gelijk aan ${\displaystyle \lambda }$, en de variantie ook.

${\displaystyle \mathrm {E} X=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}e^{-\lambda }=\lambda \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m}}{m!}}e^{-\lambda }=\lambda }$

${\displaystyle \mathrm {E} X(X-1)=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-2)!}}e^{-\lambda }=\lambda ^{2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m}}{m!}}e^{-\lambda }=\lambda ^{2}}$,

dus

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mathrm {E} X^{2}-(\mathrm {E} X)^{2}=\mathrm {E} X(X-1)+\mathrm {E} X-\lambda ^{2}=\lambda }$

• De meest waarschijnlijke waarde (modus) van een poisson-verdeelde stochastische variabele is voor niet-gehele waarden van ${\displaystyle \lambda }$ gelijk aan het grootste gehele getal kleiner dan ${\displaystyle \lambda }$. Voor gehele waarden van ${\displaystyle \lambda }$ zijn er twee modi, zowel ${\displaystyle \lambda -1}$ als ${\displaystyle \lambda }$. Vergelijk daartoe de kansen voor ${\displaystyle k-1}$ en ${\displaystyle k}$; het quotiënt daarvan is:

${\displaystyle {\frac {P(X=k-1)}{P(X=k)}}={\frac {k}{\lambda }}}$

dus

${\displaystyle k<\lambda \Rightarrow P(X=k-1)<P(X=k)}$

${\displaystyle k>\lambda \Rightarrow P(X=k-1)>P(X=k)}$

• Voor grote ${\displaystyle \lambda }$ (zeg ${\displaystyle \lambda >1000}$) is de normale verdeling met verwachting ${\displaystyle \lambda }$ en variantie ${\displaystyle \lambda }$ een goede benadering van de poissonverdeling. Voor andere, niet te kleine waarden van ${\displaystyle \lambda }$ (zeg ${\displaystyle \lambda >10}$), is de normale verdeling een goede benadering als een continuïteitscorrectie wordt toegepast. Kansen voor een poisson-verdeelde X worden benaderd met de verdeling van Y die ${\displaystyle N(\lambda ,\lambda )}$-verdeeld is:

${\displaystyle P(X\leq k)\approx P(Y\leq k+0{,}5)}$

• Als ${\displaystyle N}$ en ${\displaystyle M}$ twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn die beide een poissonverdeling hebben met respectievelijk parameters ${\displaystyle \lambda }$ en ${\displaystyle \mu }$, dan geldt dat ${\displaystyle N+M}$ een poissonverdeling heeft met parameter ${\displaystyle \lambda +\mu }$. Er geldt:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(N+M=k)&=\sum _{n=0}^{k}P(N=n)P(M=k-n)\\&=\sum _{n=0}^{k}{\frac {\lambda ^{n}\mu ^{k-n}}{n!(k-n)!}}e^{-(\lambda +\mu )}\\&={\frac {1}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sum _{n=0}^{k}{\frac {k!}{n!(k-n)!}}\lambda ^{n}\mu ^{k-n}\\&={\frac {(\lambda +\mu )^{k}}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\end{aligned}}}$