Chi-kwadraatverdeling

De kansdichtheid ${\displaystyle f_{n}}$ van de chi-kwadraatverdeling met ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden wordt voor ${\displaystyle x>0}$ gegeven door

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}$

De verdelingsfunctie is:

${\displaystyle F_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}z^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {z}{2}}}\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{x/2}t^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t={\frac {\gamma ({\frac {n}{2}},{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

Daarin is ${\displaystyle \gamma }$ de onvolledige gammafunctie.

De verwachtingswaarde van de chi-kwadraatverdeling met ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden is juist gelijk aan ${\displaystyle n}$ en de variantie is ${\displaystyle 2n}$.

Voor de (gebruikelijke) steekproefvariantie

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

van een aselecte steekproef van omvang ${\displaystyle n}$ uit een ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$-verdeling geldt:

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

Dit is geen bijzonderheid, want de chi-kwadraatverdeling is juist ontwikkeld als de verdeling van deze grootheid. We kunnen dit enigszins plausibel maken door te schrijven:

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}-Z_{0}^{2},}$

waarin alle ${\displaystyle Z}$'s standaardnormaal verdeeld zijn. Nu kan bewezen worden dat ${\displaystyle {\bar {X}}}$ en ${\displaystyle S^{2}}$ onderling onafhankelijk zijn, en dus ook ${\displaystyle Z_{0}}$ en ${\displaystyle S^{2}}$. Aangezien:

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}+Z_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}\quad }$ en ${\displaystyle \quad Z_{0}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$,

volgt het gestelde.

De dichtheid van de toevalsvariabele ${\displaystyle \chi _{n}^{2}=X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}}$, waarin ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ onderling onafhankelijk en standaardnormaal verdeeld zijn, volgt uit de simultane dichtheid van ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$. Deze simultane dichtheid is het ${\displaystyle n}$-voudige product van de standaardnormale dichtheid:

${\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x_{i}^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})}.}$

Voor de gezochte dichtheid geldt:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\chi _{n}^{2}}(z)&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}P(z<\chi _{n}^{2}\leq z+h)\\&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \,\mathrm {d} x_{n}\\&=(2\pi )^{-{\tfrac {n}{2}}}e^{-{\frac {z}{2}}}\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \,\mathrm {d} x_{n}\\\end{aligned}}}$

met ${\displaystyle K=\{z\leq x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leq z+h\}}$

In de limiet is die som in de e-macht gelijk aan ${\displaystyle z}$, en daarom kan de e-macht buiten de integraal en voor de limiet gehaald worden.

De resterende integraal

${\displaystyle \int \limits _{K}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \,\mathrm {d} x_{n}=V_{n}({\sqrt {z+h}})-V_{n}({\sqrt {z}}),}$

is het volume van de bolschil tussen de bol met straal ${\displaystyle {\sqrt {z+h}}}$ en de bol met straal ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$.

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}$

stelt het volume voor van de ${\displaystyle n}$-dimensionale bol met straal ${\displaystyle R}$.

Dus is:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \,\mathrm {d} x_{n}={\frac {\,\mathrm {d} V_{n}({\sqrt {z}})}{\,\mathrm {d} z}}={\frac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}z^{{\tfrac {n}{2}}-1}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}}$

en na invullen in de uitdrukking voor de gezochte dichtheid volgt:

${\displaystyle f_{\chi _{n}^{2}}(z)={\frac {z^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {z}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$