Scheefheid

De scheefheid is het derde gestandaardiseerde moment van de kansverdeling en wordt genoteerd met ${\displaystyle \gamma _{1}}$:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}}$

Hier is ${\displaystyle \mu _{3}}$ het derde centrale moment en ${\displaystyle \sigma }$ de standaardafwijking. De scheefheid kan dus ook geschreven worden als

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {{\rm {E}}(X-\mu )^{3}}{({\rm {E}}(X-\mu )^{2})^{3/2}}}}$

Een symmetrische verdeling heeft een scheefheid ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$. Voorbeelden van symmetrische verdelingen zijn de normale verdeling, de uniforme verdeling (discreet en continu) en de binomiale verdeling met succeskans ${\displaystyle p=1/2}$.

Een verdeling heet rechtsscheef, als deze aan de rechterkant een langere en zwaardere staart heeft dan aan de linkerkant. Deze benaming is enigszins verwarrend omdat dit automatisch inhoudt dat de meeste massa zich juist links van het gemiddelde bevindt (zie grafiek). Voor zo'n verdeling geldt dat ${\displaystyle \gamma _{1}>0}$. Een voorbeeld van een rechtsscheve verdeling is de Gamma-verdeling. Voor de ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$-verdeling geldt dat ${\displaystyle \gamma _{1}=1/{\sqrt {2k}}}$.

Wanneer de zwaardere staart zich aan de linkerkant bevindt, heet de verdeling linksscheef. Voor zo'n verdeling geldt dat ${\displaystyle \gamma _{1}<0}$. Een voorbeeld van een linksscheve verdeling is de Beta(1,0)-verdeling met de kansdichtheid ${\displaystyle f(x)=1/(1-x)(0<x<1)}$, en scheefheid ${\displaystyle \gamma _{1}=-0{,}94}$.

De scheefheid van een verdeling kan geschat worden aan de hand van de uitkomst ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ van een aselecte steekproef door:

${\displaystyle g_{1}={\frac {{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}}$,

waarin ${\displaystyle {\bar {x}}}$ het steekproefgemiddelde is. Omdat deze schatter geen zuivere schatter is, dat wil zeggen ${\displaystyle {\rm {E}}g_{1}\neq \gamma _{1}}$, wordt in praktijk meestal de volgende, wel zuivere, schatter gebruikt

${\displaystyle G_{1}={\frac {\sqrt {n\,(n-1)}}{n-2}}\;g_{1}}$

Karl Pearson suggereerde twee asymmetrie-maten die eenvoudiger te berekenen zijn:

• (gemiddelde – modus) / standaardafwijking
• 3 × (gemiddelde – mediaan) / standaardafwijking

Deze maten zijn echter minder gebruikelijk geraakt sinds de opkomst van de computer, die het berekenen van de gewone scheefheidsmaat vergemakkelijkte.