Multivariate normale verdeling

De stochastische vector ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ heeft een multivariate normale verdeling met verwachting ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$ en covariantiematrix de positief definiete n×n-matrix ${\displaystyle \Sigma }$, als de kansdichtheid gegeven is door:

${\displaystyle f_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|\Sigma |}}}e^{-{\tfrac {1}{2}}(x-\mu )'\ \Sigma ^{-1}(x-\mu )}.}$

Daarin is ${\displaystyle |\Sigma |}$ de determinant van ${\displaystyle \Sigma }$.

In het geval ${\displaystyle n=1}$ is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone normale verdeling.

Als ${\displaystyle n=2}$ heet de verdeling ook bivariate normale verdeling. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als

${\displaystyle \Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}}}$,

waarin ${\displaystyle \rho }$ de correlatiecoëfficiënt tussen ${\displaystyle X_{1}}$ en ${\displaystyle X_{2}}$ is.

Als ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})\sim N(\mu ,\Sigma )}$, geldt:

• Elke willekeurige lineaire combinatie ${\displaystyle Y=a'X=a_{1}X_{1}+\ldots +a_{n}X_{n}}$ heeft een (univariate) normale verdeling, met verwachting ${\displaystyle a'\mu }$ en variantie ${\displaystyle a'\Sigma a}$.
• De karakteristieke functie en momentgenererende functie zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.

Een Gaussproces is een stochastisch proces waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de brownse beweging en het Ornstein-Uhlenbeckproces.