Negatief-binomiale verdeling

In de kansrekening is de negatief-binomiale verdeling een discrete kansverdeling. Het is de kansverdeling van het benodigde aantal onafhankelijke pogingen met steeds kans p op succes, om een vastgelegd aantal successen m te behalen.

Als we een reeks onafhankelijke Bernoulli-pogingen doen met succeskans p, kunnen we een vast aantal beschouwen, zodat we maar moeten afwachten hoe vaak we succes zullen hebben. Dit leidt tot de binomiale verdeling. Gaan we echter net zo lang door tot we voor de m-de keer succes hebben, dan moeten we maar afwachten hoe veel experimenten we moeten doen. Dat aantal, N, is een stochastische variabele met als verdeling de negatief-binomiale verdeling, gegeven door:

${\displaystyle P(N=n)={\tbinom {n-1}{m-1}}p^{m}(1-p)^{n-m}}$, voor n=m,m+1,m+2,m+3, ...

Eenvoudig is in te zien dat deze kans ontstaat doordat er m successen moeten zijn, elk met kans p, en van de n-1 pogingen die aan het laatste succes voorafgaan er n-m mislukkingen, elk met kans 1-p. De binomiaalcoëfficiënt geeft het aantal mogelijkheden voor de verdeling van de m-1 successen over de n-1 pogingen voorafgaand aan de laatste.