Bètaverdeling

De kansdichtheid van de bètaverdeling is gedefinieerd op het interval [0, 1] als

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$

Daarin zijn ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle \beta }$ beide positieve reële getallen en is

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$

de bètafunctie.

De bètaverdeling is gedefinieerd op het interval [0, 1]. De vorm van de grafiek hangt af van de parameters:

• Als ${\displaystyle \alpha =\beta }$, dan is de grafiek symmetrisch rond 1/2
• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}$: de grafiek heeft een U-vorm (rode lijn)
• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}$: de grafiek is dalend (blauwe lijn)
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}$: deze bètaverdeling is de uniforme verdeling
• ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}$: de grafiek is stijgend (groene lijn)
• ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}$: de grafiek is unimodaal (heeft 1 modus) (paarse en zwarte lijn)

• De bèta${\displaystyle (1,1)}$-verdeling is gelijk aan de continue uniforme verdeling.
• Als ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ onafhankelijk zijn en respectievelijk een ${\displaystyle \gamma (a,c)}$- en ${\displaystyle \gamma (b,c)}$-verdeling hebben, dan heeft ${\displaystyle X/(X+Y)}$ een bèta${\displaystyle (a,c)}$-verdeling