Stochastische variabele

Een stochastische variabele ${\displaystyle X}$ is een (meetbare) reële functie op de uitkomstenruimte ${\displaystyle \Omega }$ van een kansruimte.

${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$

Omdat niet iedere deelverzameling van ${\displaystyle \Omega }$ een gebeurtenis hoeft te zijn, is ook niet noodzakelijk iedere functie op ${\displaystyle \Omega }$ een stochastische variabele. Daarom wordt geëist dat de functie meetbaar is, wat inhoudt dat het origineel van een interval een gebeurtenis is.

Zo kan op basis van toeval een proefpersoon ω worden aangewezen (uitkomst van het kansexperiment) en stelt ${\displaystyle X(\omega )}$ diens gewicht voor. De waarden van de stochastische variabele ${\displaystyle X}$ vormen eigenlijk weer een uitkomstenruimte, met daarop een "kans" bepaald door de kans op de oorspronkelijke uitkomstenruimte. Deze "kans" heet kansverdeling van ${\displaystyle X}$ en geeft voor (meetbare) deelverzamelingen ${\displaystyle B}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de kans dat ${\displaystyle X}$ een waarde aanneemt die ligt binnen ${\displaystyle B.}$

Het waardenbereik van een stochastische variabele is dus een ‘vertaling’ van de uitkomstenruimte Ω bij een kansexperiment. Soms is het alleen gemakkelijk om formeel een stochastische variabele te introduceren in het geval dat ${\displaystyle \Omega }$ een deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is. De identieke afbeelding is dan de geschikte functie. Als echter Ω bestaat uit kleuren, vormen, weersgesteldheden, namen van paarden bij een paardenrace, etc. dan zal er bij de definitie van de stochastische variabele ${\displaystyle X}$ een eenduidig verband (moeten) worden gelegd tussen ${\displaystyle \Omega }$ en het waardenbereik van ${\displaystyle X}$ (zie het voorbeeld met het dartpijltje).

De formele definitie van een stochastische variabele maakt het mogelijk dit begrip goed in te passen in de formele theorie, maar dat is niet wat ons vooral interesseert. Het belang zit vooral in de kansverdeling van een stochastische variabele, waarmee relevante kansen bepaald kunnen worden.

Men kan verschillende typen stochastische variabelen onderscheiden. Een belangrijk onderscheid is in discrete en continue stochastische variabelen. Daarnaast zijn er gemengde stochastische variabelen, die opgevat kunnen worden als een mengsel van beide typen.

Bij het gooien met twee dobbelstenen bestaat de uitkomstenruimte uit de 6² = 36 paren mogelijke ogenaantallen:

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}=\{(1,1),(1,2),\dots ,(1,6),(2,1),\dots ,(6,6)\}\,}$.

Het totale aantal geworpen ogen wordt gedefinieerd door de stochastische variabele:

${\displaystyle X(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}+\omega _{2}\,}$.

Het waardenbereik van ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle \{2,3,\dots ,12\}\,}$.

Door alle deelverzamelingen als gebeurtenis toe te laten, wat in zo'n eenvoudige situatie mogelijk is, zijn er geen problemen betreffende de meetbaarheid van ${\displaystyle X}$, want dan zijn alle functies meetbaar.

Een belangrijk aspect van een stochastische variabele is de bijbehorende kansverdeling, die aangeeft wat de kansen zijn op de mogelijke waarden of waardenverzamelingen van de stochastische variabele. In de meeste gevallen is niet de stochastische variabele als afbeelding van belang, maar gaat het om zijn verdeling.

Er zijn verschillende notatieconventies voor stochastische variabelen in gebruik. Twee van de meest gebruikte conventies zijn: de stochastische variabele onderstrepen (${\displaystyle {\underline {x}}}$) en de stochastische variabele aangeven met een hoofdletter (${\displaystyle X}$).