Weibull-verdeling

	Weibull-verdeling
	Kansdichtheid;
	Verdelingsfunctie;
Parameters	schaal (reëel); vorm (reëel)
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Variantie
Scheefheid
Kurtosis	(zie tekst)
Entropie
Portaal	Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de Weibull-verdeling (genoemd naar Waloddi Weibull) een continue kansverdeling waarvan de kansdichtheid voor $x\geq 0$ gedefinieerd wordt door

f(x;\lambda ,k)={\tfrac {k}{\lambda }}\left({\tfrac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}.

Daarin is $k>0$ de vormparameter en $\lambda >0$ de schaalparameter van de verdeling.

De verdelingsfunctie wordt voor $x\geq 0$ gegeven door

F(x;\lambda ,k)=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}.

Weibull-verdelingen worden vaak gebruikt als levensduurverdeling om de tijd te modelleren tot een gegeven technisch apparaat uitvalt. Als de uitvalsnelheid (MTBF) van het toestel afneemt in de tijd, kiest men $k<1$ , wat resulteert in een afnemende dichtheid $f$ . Wanneer de uitvalsnelheid van het toestel constant is in de tijd, kiest men $k=1$ , wat opnieuw resulteert in een afnemende dichtheid. Als de uitvalsnelheid toeneemt in de tijd, kiest men $k>1$ , zodat de kansdichtheid $f$ eerst stijgt naar een maximum en dan voor altijd afneemt. Fabrikanten zullen vaak de vorm- en schaalparameters meegeven voor de verdeling van de levensduur van een specifiek toestel. De Weibull-verdeling kan ook gebruikt worden om de verdeling van de windsnelheden op een bepaalde plaats op aarde te modelleren. Opnieuw wordt elke locatie gekarakteriseerd door de vorm- en schaalparameter.

Eigenschappen

Het $n$ -de moment van de verdeling wordt gegeven door:

m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)

Daarin is $\Gamma$ de Gammafunctie.

De verwachtingswaarde en de variantie van een Weibull-verdeelde toevalsvariabele $X$ kunnen uitgedrukt worden als:

{\textrm {E}}(X)=\lambda \Gamma (1+1/k)

en

{\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}[\Gamma (1+2/k)-\Gamma ^{2}(1+1/k)]

De scheefheid wordt gegeven door:

\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}

De kurtosis is gegeven door:

\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}

waar $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$ . De kurtosis kan ook geschreven worden als:

\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)-3\sigma ^{4}-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\sigma ^{2}\mu ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}

Generatie van Weibull-verdeelde toevalsgrootheden

Gegeven een toevalsgetal $U$ getrokken uit een uniforme verdeling in het interval $(0,1]$ , dan heeft de grootheid

X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}

een Weibull-verdeling met parameters $k$ en $\lambda$ . Dit volgt uit de vorm van de verdelingsfunctie.

Verwante verdelingen

De exponentiële verdeling is een Weibull-verdeling met vormparameter $k=1$ .
De Rayleighverdeling is een Weibull-verdeling met vormparameter $k=2$ .

Toepassing

De Weibull-verdeling geeft de verdeling van de levensduur van voorwerpen. Ze wordt ook gebruikt in de analyse van systemen met een zwakste schakel. De Weibull-verdeling wordt vaak gebruikt in plaats van de normale verdeling omwille van het feit dat een Weibull-verdeelde toevalsvariabele gegenereerd kan worden door inversie, terwijl normale toevalsvariabelen typisch gegenereerd worden met de complexere Box-Müller-transformatie, die twee uniform verdeelde toevalsvariabelen vereist. Weibull-verdelingen kunnen ook gebruikt worden om fabricage- en leveringstijden voor te stellen in industriële processen.

Externe links

Kansverdelingen

Discrete verdelingen:	Bernoulli · binomiaal · geometrisch · hypergeometrisch · negatief-binomiaal · Poisson · uniform · zèta
Continue verdelingen:	bèta · chi-kwadraat · Erlang · exponentieel · F-verdeling · gamma · Gumbel · hyperexponentieel · logistisch · lognormaal · normaal · Pareto · Rayleigh · student (t-) · uniform · Weibull
Meerdimensionale verdelingen:	multinomiaal · multivariaat normaal

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.