Hyperexponentiële verdeling

Een stochastische variabele ${\displaystyle X}$ heet hyperexponentieel verdeeld, als ${\displaystyle X}$ met kans ${\displaystyle p_{i},\ i=1,\ldots ,n}$ verdeeld is als een toevalsvariabele ${\displaystyle X_{i}}$ die exponentieel verdeeld is met parameter ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

De kansdichtheid is voor ${\displaystyle x>0}$ gegeven door:

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}}$

De verwachting van een hyperexponentieel verdeelde toevalsvariabele ${\displaystyle X}$ is:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }x\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\operatorname {E} (X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

De momentgenererende functie van de hyperexponentiële verdeling is:

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{tX}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}M_{X_{i}}(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}\right)}$